Examkin

Soru

Zorluk: KolayRiemann Toplamı

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

Riemann alt toplamı 15 olarak bulunur.
Verilen [1,4][1, 4] aralığı 33 eş parçaya bölündüğünde aralık genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. Fonksiyon artan olduğu için Riemann alt toplamında her alt aralığın sol ucundaki değerler (f(1)=3,f(2)=5,f(3)=7f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7) yükseklik olarak alınır. Dikdörtgenlerin alanları toplamından Riemann alt toplamı 3+5+7=153+5+7=15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme
Genişlik Δx=1\Delta x = 1 ve aralıklar [1,2][1, 2], [2,3][2, 3], [3,4][3, 4]
Riemann toplamı hesaplanırken aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.
2
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumuna göre alt toplam için temsilci noktaları seçme
Sol uç noktalar seçilir: x=1,2,3x = 1, 2, 3
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 artan olduğundan her alt aralıktaki en küçük değer sol uçta alınır.
3
Seçilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(1)=3f(1) = 3, f(2)=5f(2) = 5, f(3)=7f(3) = 7
Riemann dikdörtgenlerinin yüksekliklerini bulmak için.
4
Riemann alt toplamı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
1⋅3+1⋅5+1⋅7=151 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 = 15
Dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı, artan fonksiyonlarda alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerler kullanılarak hesaplanır.
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru