1'den büyük x gerçel sayısı için \log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x = \frac{9}{2}\neşitliği veriliyor. Buna göre, \log_{\sqrt{x}} 27 ifadesinin değeri kaçtır?

1'den büyük x gerçel sayısı için \log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x = \frac{9}{2}\n… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den büyük

x

gerçel sayısı için

\log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x = \frac{9}{2}

eşitliği veriliyor.
Buna göre,

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 2

İstenen ifadenin değeri 2'dir.

Verilen denklemin tüm çarpanları taban değiştirme kuralları yardımıyla 3 tabanına çevrildiğinde

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

elde edilir. Buradan

(\log_3 x)^3 = 27

yani

\log_3 x = 3

bulunur. Bu durumda

x = 27

olur. Soruda istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesi

\log_{\sqrt{27}} 27 = \log_{27^{1/2}} 27 = 2

sonucunu verir.

Verilen denklemdeki tüm logaritma terimlerini ortak 3 tabanına dönüştürün.

\log_9 x = \frac{1}{2}\log_3 x

\log_{27} x = \frac{1}{3}\log_3 x

ifadeleri elde edilir.

Tüm çarpanları aynı tabanda yazarak çarpım işlemini basitleştirmek.

Elde edilen 3 tabanındaki ifadeleri çarpım denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

denklemi elde edilir.

Logaritmaların çarpımından tek bilinmeyenli bir üslü denklem oluşturmak.

Denklemi çözerek

\log_3 x

x

değerlerini bulun.

(\log_3 x)^3 = 27 \implies \log_3 x = 3

ve buradan

x = 27

bulunur.

İstenen ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel değişken değerini elde etmek.

Bulunan

x

değerini istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinde yerine yazarak hesaplayın.

\log_{\sqrt{27}} 27 = 2

bulunur.

Logaritmanın taban üssü özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak.

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Kuvvet Özellikleri