Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi

f′(x)=(x−3)2(x+2)(x−4)f'(x) = (x-3)^2(x+2)(x-4)

olarak verilmiştir. Buna göre, ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevap: 6 birim

Cevap

f fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 6 birimdir.
Türev fonksiyonunun işaret tablosunda, x=3x = 3 çift katlı kökünde işaret değişimi olmaması nedeniyle türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu da 4−(−2)=64 - (-2) = 6 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun köklerinin belirlenmesi
x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı) ve x=4x = 4 (tek katlı) kökleri elde edilir.
f′(x)=0f'(x) = 0 eşitliğini sağlayan kritik noktalar bulunarak işaret değişim sınırları belirlenir.
2
Türevin işaret tablosunun oluşturulması
x∈(4,∞)x \in (4, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0, x∈(3,4)x \in (3, 4) için f′(x)<0f'(x) < 0, x∈(−2,3)x \in (-2, 3) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2) için f′(x)>0f'(x) > 0 bulunur.
x=3x = 3 çift katlı kökünde işaretin korunacağı göz önünde bulundurularak işaret tablosu doldurulur.
3
En geniş azalanlık aralığının tespit edilmesi
Azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olarak belirlenir.
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 koşulunu sağlayan aralıklar sürekli fonksiyonlarda uç noktaları da kapsayacak şekilde birleştirilir.
4
Aralık uzunluğunun hesaplanması
4−(−2)=64 - (-2) = 6
Belirlenen aralığın uç noktaları arasındaki fark hesaplanarak uzunluk elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerin birleşimiyle elde edilir. Çift katlı köklerde türev işaret değiştirmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru