f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere, f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere,

f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x - 2}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

0Cevap
B
2
C
$\frac{4}{3}$
D
1
E
Yoktur

Cevap

Yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.

Fonksiyon

x \neq 2

için sadeleştirildiğinde

f(x) = x^2

halini alır. Bu fonksiyonun birinci türevi

f'(x) = 2x

olur. Türevin kökü

x = 0

olup, bu noktada türevin işareti negatiften pozitife geçtiği için

x = 0

apsisli nokta fonksiyonun yerel minimum noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

Fonksiyonun tanım kümesini inceleyelim ve sadeleştirme yapalım.

x \neq 2

için

f(x) = \frac{x^2(x - 2)}{x - 2} = x^2

olur.

İşlemleri kolaylaştırmak ve türev almayı sadeleştirmek amacıyla ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yaparız.

Sadeleştirilmiş fonksiyonun türevini alalım.

f'(x) = 2x

(

x \neq 2

)

Ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini incelememiz gerekir.

Türevin köklerini bulup işaret tablosunu inceleyelim.

f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0

bulunur. İşaret tablosunda

x < 0

için

f'(x) < 0

x > 0

için

f'(x) > 0

olur.

Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktalardaki artanlık-azalanlık durumunu belirlemek için.

Türevin işaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyelim.

x = 0

noktasında türevin işareti negatiften pozitife değiştiği için bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Dolay��sıyla yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.

Bir fonksiyonun türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü tanımlı noktalar yerel minimum noktalarıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta yerel minimum noktası, birinci türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü noktadır. Rasyonel fonksiyonlarda tanımsız olunan noktalar ekstremum noktası olamaz.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru