Bir (a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında a_4 + a_{10} + a_{16} = 36 a_7 + a_9 = a_5 + 14 \neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a_{20} değeri kaçtır?

Bir (a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında a_4 + a_{10} + a_{16} = 36 a_7 + a_9 = a_… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{10} + a_{16} = 36

a_7 + a_9 = a_5 + 14

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan $a_{20}$ değeri kaçtır?

Cevap: 32

Dizinin 20. terimi olan a_{20} değeri 32'dir.

Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak önce

a_{10} = 12

bulunur, ardından ortak fark

r = 2

olarak elde edilir ve

a_{20} = a_{10} + 10r

formülüyle

32

sonucuna ulaşılır.

Dizinin indis özelliklerini kullanarak a_{10} terimini bulma

a_{10} = 12

Aritmetik dizilerde indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

4 + 16 = 2 \cdot 10

olduğundan

a_4 + a_{16} = 2a_{10}

yazılabilir. Denklemde yerine yazıldığında

3a_{10} = 36 \implies a_{10} = 12

bulunur.

Dizinin terimlerini ortak fark (r) cinsinden ifade edip r değerini bulma

r = 2

a_5 = a_{10} - 5r = 12 - 5r

a_7 = a_{10} - 3r = 12 - 3r

a_9 = a_{10} - r = 12 - r

eşitlikleri

a_7 + a_9 = a_5 + 14

denklemine yazılır. Buradan

24 - 4r = 26 - 5r \implies r = 2

elde edilir.

a_{20} terimini hesaplama

a_{20} = 32

a_{20} = a_{10} + 10r

bağıntısı kullanılarak

a_{20} = 12 + 10 \cdot 2 = 32

bulunur.

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı