Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorRiemann Toplamı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı; [1,5][1, 5] kapalı aralığında sürekli, türevlenebilir ve azalan bir ff fonksiyonu için [1,5][1, 5] aralığı nn adet eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı LnL_n ve Riemann üst toplamı UnU_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
Un−Ln=12nU_n - L_n = \frac{12}{n}
eşitliği sağlanmaktadır.

[1,5][1, 5] aralığı 22 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı U2=24U_2 = 24 olduğuna göre,
I. ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18
II. f(3)<6f(3) < 6
III. f(5)>3f(5) > 3

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIICevap

Cevap

I, II ve III
Sürekli ve azalan bir fonksiyonun belirli integral değeri, aynı aralıktaki Riemann alt toplamından daima büyüktür. Riemann üst toplamı U2=24U_2 = 24 ve iki toplam arasındaki fark U2−L2=6U_2 - L_2 = 6 olduğundan Riemann alt toplamı L2=18L_2 = 18 olarak elde edilir. Bu nedenle belirli integral değeri 18'den büyüktür. Ayrıca fonksiyonun azalanlık koşulu olan f(1)>f(3)>f(5)f(1) > f(3) > f(5) eşitsizliği ve verilen denklemler çözüldüğünde f(3)<6f(3) < 6 ve f(5)>3f(5) > 3 sınırları kesin olarak elde edilir. Bu sebeple her üç ifadenin de doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann üst ve alt toplamları arasındaki fark formülünü yazarak fonksiyon değerleri arasındaki ilişkiyi bulunuz.
f(1)−f(5)=3f(1) - f(5) = 3
Azalan bir fonksiyon için Un−Ln=b−an(f(a)−f(b))U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(a) - f(b)) eşitliği geçerlidir. Burada b−a=5−1=4b-a = 5-1=4 olduğundan, Un−Ln=4n(f(1)−f(5))=12n  ⟹  f(1)−f(5)=3U_n - L_n = \frac{4}{n}(f(1) - f(5)) = \frac{12}{n} \implies f(1) - f(5) = 3 elde edilir.
2
n=2n=2 için Riemann üst toplamı formülünü kullanarak f(1)+f(3)f(1) + f(3) değerini hesaplayınız.
f(1)+f(3)=12f(1) + f(3) = 12
[1,5][1, 5] aralığı 2 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralıklar [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olur. Aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 birimdir. Azalan bir fonksiyon için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır: U2=2⋅(f(1)+f(3))=24  ⟹  f(1)+f(3)=12U_2 = 2 \cdot (f(1) + f(3)) = 24 \implies f(1) + f(3) = 12 bulunur.
3
ff fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak fonksiyon değerleri için eşitsizlik sistemini kurup çözünüz.
6<f(1)<7.56 < f(1) < 7.5, 4.5<f(3)<64.5 < f(3) < 6 ve 3<f(5)<4.53 < f(5) < 4.5
Fonksiyon azalan olduğundan f(1)>f(3)>f(5)f(1) > f(3) > f(5) olmalıdır. f(3)=12−f(1)f(3) = 12 - f(1) ve f(5)=f(1)−3f(5) = f(1) - 3 ifadelerini bu eşitsizlikte yerine yazarsak:
1) f(1)>12−f(1)  ⟹  2f(1)>12  ⟹  f(1)>6f(1) > 12 - f(1) \implies 2f(1) > 12 \implies f(1) > 6 elde edilir.
2) 12−f(1)>f(1)−3  ⟹  15>2f(1)  ⟹  f(1)<7.512 - f(1) > f(1) - 3 \implies 15 > 2f(1) \implies f(1) < 7.5 elde edilir.
Buradan 6<f(1)<7.56 < f(1) < 7.5 aralığı bulunur. Bu aralık kullanılarak f(3)=12−f(1)  ⟹  4.5<f(3)<6f(3) = 12 - f(1) \implies 4.5 < f(3) < 6 ve f(5)=f(1)−3  ⟹  3<f(5)<4.5f(5) = f(1) - 3 \implies 3 < f(5) < 4.5 elde edilir. Dolayısıyla II. ve III. öncüller her zaman doğrudur.
4
Riemann alt toplamı L2L_2 değerini bulup integral değeri ile karşılaştırınız.
L2=18L_2 = 18 ve ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18
U2−L2=6U_2 - L_2 = 6 ve U2=24U_2 = 24 olduğundan L2=18L_2 = 18 olur. Sürekli ve azalan bir fonksiyon için belirli integral, Riemann alt toplamından daima büyüktür. Bu durumda ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18 ifadesi (I. öncül) her zaman doğrudur.

Anahtar Kavram

Riemann alt/üst toplamları ile belirli integral ve fonksiyonun monotonluğu (artanlık/azalanlık) arasındaki ilişkiler
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru