Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolü ile bu parabolün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği olan g(x)g(x) parabolü verilmiştir. Bu iki parabolün kesim noktaları ile tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı AA birimkare, paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ise BB birimkaredir. Buna göre, B−AB - A farkı kaç birimkaredir?

  1. A
    83\frac{8}{3}
  2. B
    66
  3. 163\frac{16}{3}Cevap
  4. D
    323\frac{32}{3}
  5. E
    1818

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ile bu parabollerin kesim ve tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanının farkı \frac{16}{3} birimkaredir.
Doğru seçenekte sunulan değer, simetrik parabol denklemlerinin doğru bulunması, kesim noktalarının doğru tespit edilmesi, köşegen uzunlukları 44 ve 88 olan eşkenar dörtgenin alanının 1616 olarak hesaplanması ve iki eğri arasında kalan alanın integral ile B=643B = \frac{64}{3} olarak bulunarak farklarının alınmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün denklemini bulma.
g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1
f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolünün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği g(x)=2(5)−f(x)=10−(9−x2)=x2+1g(x) = 2(5) - f(x) = 10 - (9 - x^2) = x^2 + 1 olarak elde edilir.
2
Parabollerin kesim noktalarını bulma.
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Kesim noktalarını bulmak için iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleriz: 9−x2=x2+1⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±29 - x^2 = x^2 + 1 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.
3
Köşeleri kesim noktaları ve tepe noktaları olan dörtgenin alanını (A) hesaplama.
A=16A = 16
Dörtgenin köşeleri P1(2,5)P_1(2, 5), P2(−2,5)P_2(-2, 5), T1(0,9)T_1(0, 9) ve T2(0,1)T_2(0, 1) noktalarıdır. Bu noktalar koordinat düzleminde bir eşkenar dörtgen oluşturur. Yatay köşegen uzunluğu ∣2−(−2)∣=4|2 - (-2)| = 4 birim, dikey köşegen uzunluğu ise ∣9−1∣=8|9 - 1| = 8 birimdir. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısı olduğundan A=4×82=16A = \frac{4 \times 8}{2} = 16 birimkaredir.
4
Paraboller arasında kalan sınırl�� bölgenin alanını (B) belirli integral yardımıyla hesaplama.
B=643B = \frac{64}{3}
İntegral sınırları kesim noktaları olan −2-2 ve 22'dir. Bu aralıkta f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x) olduğundan alan B=∫−22(f(x)−g(x)) dx=∫−22(8−2x2) dxB = \int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur. Fonksiyon çift olduğundan B=2∫02(8−2x2) dx=2[8x−2x33]02=2(16−163)=643B = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx = 2 \left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 16 - \frac{16}{3} \right) = \frac{64}{3} birimkare bulunur.
5
B - A farkını bulma.
163\frac{16}{3}
B−A=643−16=163B - A = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3} birimkaredir.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile iki eğri arasında kalan alanın hesabı, fonksiyonların simetri dönüşümleri ve geometrik alan ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Rhombus alanını integral kullanmadan koordinat geometrisi formülüyle bulmak ve iki parabol arasında kalan alanı Archimedes'in parabol kesmesi alan kuralını (Alan = 2/3 * taban * yükseklik) uygulayarak integral almadan pratik yoldan hesaplamak. Bu yöntemde paraboller arasındaki fark fonksiyonu h(x) = 8 - 2x^2 olup, kökleri -2 ve 2'dir. Taban uzunluğu 4 birim, tepe noktasındaki yükseklik 8 birimdir. Buradan Alan = 2/3 * 4 * 8 = 64/3 birimkare bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru