Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, x=(y−1)2−4x = (y-1)^2 - 4 parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre; parabol, yy-ekseni, y=0y = 0 ve y=4y = 4 doğruları arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 343\frac{34}{3}Cevap
  2. B
    203\frac{20}{3}
  3. C
    8
  4. D
    263\frac{26}{3}
  5. E
    10

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 343\frac{34}{3} birimkaredir.
Doğru sonuca ulaşmak için integral sınırları parabolün yy-eksenini kestiği y=3y=3 noktasına göre bölünmelidir. [0,3][0, 3] aralığında parabol yy-ekseninin solunda yer aldığından integralin önüne eksi işareti getirilerek alan pozitif yapılır: ∫03(4−(y−1)2) dy=9\int_{0}^{3} (4 - (y-1)^2) \, dy = 9. [3,4][3, 4] aralığında ise parabol sağda olduğundan doğrudan entegre edilir: ∫34((y−1)2−4) dy=73\int_{3}^{4} ((y-1)^2 - 4) \, dy = \frac{7}{3}. Bu iki alan toplandığında 343\frac{34}{3} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün yy-eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde x=0x = 0 yazılır.
x=(y−1)2−4=0⇒(y−1)2=4⇒y−1=2x = (y-1)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (y-1)^2 = 4 \Rightarrow y-1 = 2 veya y−1=−2⇒y=3y-1 = -2 \Rightarrow y = 3 veya y=−1y = -1 bulunur.
İntegral sınırları olan [0,4][0, 4] aralığında parabolün yy-ekseninin solundan sağına geçiş yaptığı geçiş noktasını belirlemek.
2
Boyalı bölgenin alanını hesaplamak için [0,4][0, 4] aralığı, fonksiyonun işaret değiştirdiği y=3y = 3 noktasına göre iki alt aralığa ayrılır.
Alan A=A1+A2A = A_1 + A_2 olur. Burada A1=∫03∣(y−1)2−4∣ dyA_1 = \int_{0}^{3} |(y-1)^2 - 4| \, dy ve A2=∫34∣(y−1)2−4∣ dyA_2 = \int_{3}^{4} |(y-1)^2 - 4| \, dy şeklindedir.
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığında parabolün kolları sol tarafta (x≤0x \leq 0), y∈[3,4]y \in [3, 4] aralığında ise sağ taraftadır (x≥0x \geq 0). Alan hesabı pozitif değerler gerektirdiğinden integral parçalanmalıdır.
3
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığındaki birinci bölgenin alanı (A1A_1) hesaplanır.
A1=∫03(4−(y−1)2) dy=[4y−(y−1)33]03=(12−83)−(0−−13)=283−13=9A_1 = \int_{0}^{3} (4 - (y-1)^2) \, dy = \left[ 4y - \frac{(y-1)^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(12 - \frac{8}{3}\right) - \left(0 - \frac{-1}{3}\right) = \frac{28}{3} - \frac{1}{3} = 9 birimkare.
yy-ekseninin solunda kalan bölgenin alanını pozitif olarak elde etmek.
4
y∈[3,4]y \in [3, 4] aralığındaki ikinci bölgenin alanı (A2A_2) hesaplanır.
A2=∫34((y−1)2−4) dy=[(y−1)33−4y]34=(9−16)−(83−12)=−7+283=73A_2 = \int_{3}^{4} ((y-1)^2 - 4) \, dy = \left[ \frac{(y-1)^3}{3} - 4y \right]_{3}^{4} = \left(9 - 16\right) - \left(\frac{8}{3} - 12\right) = -7 + \frac{28}{3} = \frac{7}{3} birimkare.
yy-ekseninin sağında kalan bölgenin alanını elde etmek.
5
Elde edilen alan değerleri toplanarak toplam alan bulunur.
A=A1+A2=9+73=343A = A_1 + A_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} birimkare.
Boyalı bölgenin toplam alanını bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak yy-eksenine göre sınırlanan bölgelerin alan hesabı yapılırken fonksiyonun işaretine dikkat edilerek integral sınırlarının parçalanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru