Examkin

Soru

Zorluk: KolayRiemann Toplamı

Grafikte [0,6][0, 6] kapalı aralığında tanımlı f(x)=x+2f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, [0,6][0, 6] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    24
  3. 36Cevap
  4. D
    30
  5. E
    12

Cevap

36
Doğru cevap 36'dır. f(x)=x+2f(x) = x + 2 artan bir fonksiyondur. [0,6][0, 6] aralığı 3 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 olur. Artan fonksiyonlar için Riemann üst toplamı hesaplanırken her aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değerleri yükseklik olarak alınır. Bu değerler f(2)=4f(2) = 4, f(4)=6f(4) = 6 ve f(6)=8f(6) = 8 olup Riemann üst toplamı 2⋅(4+6+8)=362 \cdot (4 + 6 + 8) = 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini bulunuz.
Δx=6−03=2\Delta x = \frac{6 - 0}{3} = 2
[0,6][0, 6] aralığı 3 eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülü ile hesaplanır.
2
Alt aralıkları ve bu aralıkların sağ uç noktalarını belirleyiniz.
Alt aralıklar [0,2][0, 2], [2,4][2, 4] ve [4,6][4, 6] olup, sağ uç noktalar sırasıyla 22, 44 ve 66 elemanlarıdır.
Artan bir fonksiyonda Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değeri kullanılır.
3
Riemann üst toplamını hesaplayınız.
Üst Toplam =Δx⋅[f(2)+f(4)+f(6)]=2⋅(4+6+8)=2⋅18=36= \Delta x \cdot [f(2) + f(4) + f(6)] = 2 \cdot (4 + 6 + 8) = 2 \cdot 18 = 36
Bölüntünün her bir alt aralık genişliği ile o aralıktaki sağ uç noktanın fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann üst toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann üst toplamı, tanımlı olduğu aralıkta sürekli ve artan bir fonksiyon için, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliklerinin çarpımlarının toplamıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru