Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=∣x2−3x∣−2xf(x) = |x^2 - 3x| - 2x

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    −72-\frac{7}{2}
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. −234-\frac{23}{4}Cevap
  4. D
    -6
  5. E
    54\frac{5}{4}

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı -23/4'tür.
Doğru cevap, fonksiyonun tüm yerel ekstremum noktalarının belirlenerek y-değerlerinin doğru bir şekilde toplanmasıyla elde edilen -23/4 değeridir. Bu süreçte fonksiyon parçalı olarak yazılmış, kritik noktalarda türevin yön değişimi analiz edilmiş ve yerel minimum noktaları ile yerel maksimum noktasının ordinatları toplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonu mutlak değerin tanımına göre parçalı fonksiyon biçiminde yazın.
x2−3x≥0  ⟹  x≤0x^2 - 3x \geq 0 \implies x \le 0 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x; 0<x<30 < x < 3 için f(x)=−x2+xf(x) = -x^2 + x olarak bulunur.
Mutlak değerli ifadelerin türev ve yön analizi yapılmadan önce kritik noktalara göre parçalanması gerekir.
2
Parçalı fonksiyonun her bir aralıktaki türevini alarak işaret tablosunu oluşturun.
x<0x < 0 veya x>3x > 3 için f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5; 0<x<30 < x < 3 için f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1 olur. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökü x=1/2x = 1/2 olup 0<x<30 < x < 3 aral��ğındadır. x=5/2x = 5/2 ise tanım dışıdır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum ve maksimum noktalarını belirleyin.
x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktalarında türev işareti eksiden artıya geçtiği için yerel minimum; x=1/2x = 1/2 noktas��nda artıdan eksiye geçtiği için yerel maksimum vardır.
Bir noktada türevin (veya fonksiyonun yönünün) eksi değerlerden artı değerlere geçmesi yerel minimumu, artıdan eksiye geçmesi yerel maksimumu belirtir.
4
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını (y-değerlerini) hesaplay��n ve toplayın.
f(0)=0f(0) = 0, f(3)=−6f(3) = -6, f(1/2)=1/4f(1/2) = 1/4 olup, ordinatlar toplamı 0+1/4−6=−23/40 + 1/4 - 6 = -23/4 olarak bulunur.
Soru yerel ekstremum noktalarının apsislerini değil, ordinatlarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlar üzerinde türev ve yön değişimi yardımıyla belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru