Dik koordinat düzleminde, [-3, 2] kapalı aralığında tanımlı bir f fonksiyonunun grafiği ve… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $[-3, 2]$ kapalı aralığında tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafik, $A(-3, 0)$ , $B(0, 3)$ ve $C(2, 0)$ noktalarını ardışık olarak birleştiren iki doğru parçasından oluşmaktadır.

g(x) = 3 - f(|x|)

h(x) = f(1-x)

biçiminde tanımlanan $g$ ve $h$ fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarının tüm koordinatlarının (apsis ve ordinatlarının) toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{13}{4}$
B
$\frac{15}{4}$
$\frac{17}{4}$ Cevap
D
$\frac{19}{4}$
E
$\frac{21}{4}$

Cevap

Kesişim noktalarının koordinatları toplamı olan 17/4 ifadesidir.

Doğru seçenekte belirtilen değer, g(x) = 1.5|x| ve h(x) = f(1-x) fonksiyonlarının kurallarının doğru aralıklarda yazılması ve ortak tanım kümesi olan [-1, 2] aralığındaki kesişim noktalarının apsis ve ordinat değerlerinin toplanmasıyla elde edilir. Bu noktalar (-1/2, 3/4) ve (8/5, 12/5) olup toplamları 17/4'tür.

Adım Adım Çözüm

g(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme

g(x) = 3 - f(|x|) fonksiyonunda, f fonksiyonunun tanım kümesi [-3, 2] olduğundan, |x| ifadesi [0, 2] aralığında olmalıdır. Buradan g(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 2] olarak bulunur. x >= 0 için g(x) = 3 - f(x) = 3 - (3 - 1.5x) = 1.5x ve x < 0 için g(x) = 3 - f(-x) = 1.5|x| elde edilir. Yani, g(x) = 1.5|x| biçimindedir.

Kesişim noktalarını bulabilmek için öncelikle g(x) fonksiyonunun cebirsel ifadesini ve tanımlı olduğu aralığı bulmamız gerekir.

h(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme

h(x) = f(1-x) fonksiyonunda, f'in tanım kümesi [-3, 2] olduğundan -3 <= 1-x <= 2 eşitsizliğinden h fonksiyonunun tanım kümesi [-1, 4] olarak bulunur. 1-x >= 0 yani x <= 1 için h(x) = -1.5(1-x) + 3 = 1.5x + 1.5 olur. 1-x < 0 yani x > 1 için h(x) = (1-x) + 3 = -x + 4 olur.

h(x) fonksiyonunun farklı aralıklardaki doğrusal denklemlerini elde etmek kesişim denklemlerini kurmamızı sağlar.

Ortak tanım kümesindeki kesişim noktalarını hesaplama

g ve h fonksiyonlarının ortak tanım kümesi [-2, 2] ile [-1, 4] aralıklarının kesişimi olan [-1, 2] aralığıdır. Bu aralıkta kesişimleri incelersek: 1) [-1, 0] aralığında: -1.5x = 1.5x + 1.5 => 3x = -1.5 => x = -0.5 olur. Buradan y = g(-0.5) = 0.75 elde edilir. İlk nokta P_1(-0.5, 0.75) olur. 2) [0, 1] aralığında: 1.5x = 1.5x + 1.5 => 0 = 1.5 (��özüm yoktur). 3) [1, 2] aralığında: 1.5x = -x + 4 => 2.5x = 4 => x = 1.6 olur. Buradan y = g(1.6) = 2.4 elde edilir. İkinci nokta P_2(1.6, 2.4) olur.

İki grafiğin kesiştiği noktaların apsis ve ordinat değerlerini bulmak için fonksiyon kuralları ortak çözülür.

Koordinatlar toplamını hesaplama

Bulunan noktaların koordinatları toplamı: (-0.5) + 0.75 + 1.6 + 2.4 = 0.25 + 4 = 4.25 = 17/4 bulunur.

Soru kökünde istenen nihai toplam değerine ulaşmak için tüm bileşenler toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun mutlak değer dönüşümü y = f(|x|), y eksenine göre yansıması y = f(-x) ve yatay/dikey ötelemelerin bileşkesi altında grafiklerin analizi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru