Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFonksiyonların Simetri Dönüşümleri

Dik koordinat düzleminde f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

g(x)=∣f(−∣x∣)−1∣g(x) = |f(-|x|) - 1|

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için,

g(x)=12g(x) = \frac{1}{2} denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı AA,

g(x)=1g(x) = 1 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı BB

olduuna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    11
  3. 13Cevap
  4. D
    15
  5. E
    17

Cevap

Doğru cevap 13 olan seçenektir.
Doğru cevap 13'tür. g(x)=1/2g(x) = 1/2 denkleminin 8 farklı kökü, g(x)=1g(x) = 1 denkleminin ise 5 farklı kökü vardır. Bu kök sayıları fonksiyonun grafiği çizilip y=1/2y = 1/2 ve y=1y = 1 doğrularıyla olan kesişim noktaları sayılarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)=f(−∣x∣)h(x) = f(-|x|) fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.
h(x)h(x) fonksiyonu çift fonksiyondur. x≥0x \ge 0 için h(x)=f(−x)=−x3+3xh(x) = f(-x) = -x^3 + 3x olur.
Değişkenin mutlak değeri alındığı için fonksiyon y-eksenine göre simetrik hale gelir.
2
x≥0x \ge 0 için h(x)−1h(x) - 1 fonksiyonunun grafiğini analiz etme.
y(x)=−x3+3x−1y(x) = -x^3 + 3x - 1 fonksiyonunun x=0x=0 için değeri −1-1, x=1x=1 için yerel maksimum değeri 11'dir. x→∞x \to \infty için −∞-\infty'a gider. Bu aralıkta fonksiyonun biri (0,1)(0, 1) diğeri (1,∞)(1, \infty) aralığında olmak üzere iki pozitif kökü vardır.
Grafiğin x-eksenini kestiği noktaları ve tepe noktalarını bulmak için türev ve fonksiyon değerleri incelenir.
3
g(x)=∣h(x)−1∣g(x) = |h(x) - 1| dönüşümünü uygulayarak grafiğin genel şeklini çıkarma.
g(x)g(x) çift fonksiyonu, x-ekseninin altında kalan kısımların yukarı katlanmasıyla oluşur. x≥0x \ge 0 için grafik (0,1)(0, 1) noktasından başlayıp azalarak sıfıra iner, sonra (1,1)(1, 1) tepe noktasına çıkıp tekrar sıfıra iner ve ardından artarak sonsuza gider.
Dışarıdaki mutlak değer, negatif y değerlerini pozitif yaparak grafiği x-eksenine göre yans��tır.
4
g(x)=1/2g(x) = 1/2 denkleminin kök sayısını belirleme.
y=1/2y = 1/2 yatay doğrusu, g(x)g(x) grafiğinin dalgalanan kollarını x≥0x \ge 0 için 4 noktada keser. Çift fonksiyon simetrisinden dolayı toplam kök sayısı A=8A = 8 olur.
0<1/2<10 < 1/2 < 1 seviyesindeki bir yatay doğru, grafiğin her bir artan ve azalan kolunu tam olarak bir kez keser.
5
g(x)=1g(x) = 1 denkleminin kök sayısını belirleme.
y=1y = 1 doğrusu yerel maksimum noktaları olan x=−1,0,1x = -1, 0, 1 noktalarında grafiğe teğettir. Ayrıca dış kollarda x=±3x = \pm\sqrt{3} noktalarında kesişir. Buradan kök sayısı B=5B = 5 bulunur. Sonuç olarak A+B=8+5=13A + B = 8 + 5 = 13 elde edilir.
y=1y = 1 seviyesi hem yerel maksimum değerlerine eşit olduğundan teğet noktalarını hem de dış kollardaki kesişim noktalarını verir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların mutlak değer ve simetri dönüşümleri altında grafik analizinin yapılması ve yatay doğrularla kesişim sayıları yardımıyla denklem kök sayılarının bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Simetri Dönüşümleri

Bu konudan daha fazla soru