Fonksiyonların Simetri Dönüşümleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 4x$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Bu fonksiyonun grafiğinin $y$ eksenine göre simetriği alındığında elde edilen yeni grafiğin tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

(-2, -4)

(2, 4)

(-2, 4)

(2, 12)

(2, -4)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-2, -4)$

Cevap

(-2, -4)

noktası

Doğru cevap olan

(-2, -4)

noktası, orijinal fonksiyonun tepe noktası olan

T(2, -4)

noktasının

y

eksenine göre simetriği alınarak elde edilir.

y

eksenine göre simetri dönüşümünde noktaların ordinatları değişmezken, apsisleri işaret değiştirir. Dolayısıyla

(2, -4)

noktası

(-2, -4)

noktasına dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal

f(x) = x^2 - 4x

parabolünün tepe noktasının (

T(r,k)

) koordinatlarını bulun.

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2

ve

k = f(2) = 2^2 - 4(2) = -4

olduğundan tepe noktası

T(2, -4)

olur.

Simetri dönüşümünü uygulamak için öncelikle orijinal grafiğin tepe noktasını belirlememiz gerekir.

2

y

eksenine göre simetri dönüşümünü tepe noktasına uygulayın.

y

eksenine göre simetride her

(x, y)

noktası

(-x, y)

noktasına dönüşür. Bu durumda

T(2, -4)

noktası

T'(-2, -4)

olur.

Bir fonksiyonun grafiğinin

y

eksenine göre simetriği alındığında, grafikteki tüm noktaların apsislerinin işareti değişirken ordinatları aynı kalır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların y eksenine göre simetri dönüşümünde

g(x) = f(-x)

kuralı uygulanır ve bu dönüşüm grafik üzerindeki her

(x,y)

noktasını

(-x,y)

noktasına taşır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, fonksiyonun

y

eksenine göre simetriği olan yeni fonksiyon

g(x) = f(-x)

olarak yazılabilir.

g(x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x

parabolünün tepe noktası hesaplandığında; apsis

r = -\frac{4}{2} = -2

ve ordinat

k = g(-2) = (-2)^2 + 4(-2) = -4

bulunur. Buradan da tepe noktası

(-2, -4)

olarak elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği $y$ eksenine göre simetriktir.

$f(2) = 5$

olduğuna göre, $g(x) = -f(x) + 3$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonu için $g(-2)$ değeri kaçtır?

8

2

-2

-8

-5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

-2

Çift fonksiyon tanımından dolayı

f(-2) = f(2) = 5

olur. Dönüşüm denkleminde yerine yazıldığında

g(-2) = -f(-2) + 3 = -5 + 3 = -2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f

fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.

f

fonksiyonunun grafiği

y

eksenine göre simetrik olduğundan

f

bir çift fonksiyondur. Dolayısıyla her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır ve buradan

f(-2) = f(2) = 5

bulunur.

Y eksenine göre simetriklik, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir.

2

g(-2)

değerini hesaplamak için dönüşüm tanımını yazma.

g(-2) = -f(-2) + 3

ifadesi elde edilir.

g(x) = -f(x) + 3

denkleminde

x

yerine

-2

yazılmıştır.

3

f(-2)

değerini yerine koyarak sonucu hesaplama.

g(-2) = -5 + 3 = -2

bulunur.

Bulunan

f(-2) = 5

değeri denklemde yerine yazılarak toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların y eksenine göre simetrisi (çift fonksiyonlar) ve dikey yansıma ile öteleme dönüşümleri.

Soru 3Soru →

Dik koordinat düzleminde $f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

g(x) = |f(-|x|) - 1|

biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonu için,

$g(x) = \frac{1}{2}$ denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı $A$ ,

$g(x) = 1$ denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı $B$

olduuna göre, $A + B$ toplamı kaçtır?

9

11

13

15

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Doğru cevap 13 olan seçenektir.

Doğru cevap 13'tür.

g(x) = 1/2

denkleminin 8 farklı kökü,

g(x) = 1

denkleminin ise 5 farklı kökü vardır. Bu kök sayıları fonksiyonun grafiği çizilip

y = 1/2

ve

y = 1

doğrularıyla olan kesişim noktaları sayılarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

h(x) = f(-|x|)

fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.

h(x)

fonksiyonu çift fonksiyondur.

x \ge 0

için

h(x) = f(-x) = -x^3 + 3x

olur.

Değişkenin mutlak değeri alındığı için fonksiyon y-eksenine göre simetrik hale gelir.

2

x \ge 0

için

h(x) - 1

fonksiyonunun grafiğini analiz etme.

y(x) = -x^3 + 3x - 1

fonksiyonunun

x=0

için değeri

-1

,

x=1

için yerel maksimum değeri

1

'dir.

x \to \infty

için

-\infty

'a gider. Bu aralıkta fonksiyonun biri

(0, 1)

diğeri

(1, \infty)

aralığında olmak üzere iki pozitif kökü vardır.

Grafiğin x-eksenini kestiği noktaları ve tepe noktalarını bulmak için türev ve fonksiyon değerleri incelenir.

3

g(x) = |h(x) - 1|

dönüşümünü uygulayarak grafiğin genel şeklini çıkarma.

g(x)

çift fonksiyonu, x-ekseninin altında kalan kısımların yukarı katlanmasıyla oluşur.

x \ge 0

için grafik

(0, 1)

noktasından başlayıp azalarak sıfıra iner, sonra

(1, 1)

tepe noktasına çıkıp tekrar sıfıra iner ve ardından artarak sonsuza gider.

Dışarıdaki mutlak değer, negatif y değerlerini pozitif yaparak grafiği x-eksenine göre yans��tır.

4

g(x) = 1/2

denkleminin kök sayısını belirleme.

y = 1/2

yatay doğrusu,

g(x)

grafiğinin dalgalanan kollarını

x \ge 0

için 4 noktada keser. Çift fonksiyon simetrisinden dolayı toplam kök sayısı

A = 8

olur.

0 < 1/2 < 1

seviyesindeki bir yatay doğru, grafiğin her bir artan ve azalan kolunu tam olarak bir kez keser.

5

g(x) = 1

denkleminin kök sayısını belirleme.

y = 1

doğrusu yerel maksimum noktaları olan

x = -1, 0, 1

noktalarında grafiğe teğettir. Ayrıca dış kollarda

x = \pm\sqrt{3}

noktalarında kesişir. Buradan kök sayısı

B = 5

bulunur. Sonuç olarak

A + B = 8 + 5 = 13

elde edilir.

y = 1

seviyesi hem yerel maksimum değerlerine eşit olduğundan teğet noktalarını hem de dış kollardaki kesişim noktalarını verir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların mutlak değer ve simetri dönüşümleri altında grafik analizinin yapılması ve yatay doğrularla kesişim sayıları yardımıyla denklem kök sayılarının bulunması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 4Soru →

Dik koordinat düzleminde, $[-3, 2]$ kapalı aralığında tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafik, $A(-3, 0)$ , $B(0, 3)$ ve $C(2, 0)$ noktalarını ardışık olarak birleştiren iki doğru parçasından oluşmaktadır.

g(x) = 3 - f(|x|)

h(x) = f(1-x)

biçiminde tanımlanan $g$ ve $h$ fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarının tüm koordinatlarının (apsis ve ordinatlarının) toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{13}{4}

\frac{15}{4}

\frac{17}{4}

\frac{19}{4}

\frac{21}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{4}$

Cevap

Kesişim noktalarının koordinatları toplamı olan 17/4 ifadesidir.

Doğru seçenekte belirtilen değer, g(x) = 1.5|x| ve h(x) = f(1-x) fonksiyonlarının kurallarının doğru aralıklarda yazılması ve ortak tanım kümesi olan [-1, 2] aralığındaki kesişim noktalarının apsis ve ordinat değerlerinin toplanmasıyla elde edilir. Bu noktalar (-1/2, 3/4) ve (8/5, 12/5) olup toplamları 17/4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme

g(x) = 3 - f(|x|) fonksiyonunda, f fonksiyonunun tanım kümesi [-3, 2] olduğundan, |x| ifadesi [0, 2] aralığında olmalıdır. Buradan g(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 2] olarak bulunur. x >= 0 için g(x) = 3 - f(x) = 3 - (3 - 1.5x) = 1.5x ve x < 0 için g(x) = 3 - f(-x) = 1.5|x| elde edilir. Yani, g(x) = 1.5|x| biçimindedir.

Kesişim noktalarını bulabilmek için öncelikle g(x) fonksiyonunun cebirsel ifadesini ve tanımlı olduğu aralığı bulmamız gerekir.

2

h(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme

h(x) = f(1-x) fonksiyonunda, f'in tanım kümesi [-3, 2] olduğundan -3 <= 1-x <= 2 eşitsizliğinden h fonksiyonunun tanım kümesi [-1, 4] olarak bulunur. 1-x >= 0 yani x <= 1 için h(x) = -1.5(1-x) + 3 = 1.5x + 1.5 olur. 1-x < 0 yani x > 1 için h(x) = (1-x) + 3 = -x + 4 olur.

h(x) fonksiyonunun farklı aralıklardaki doğrusal denklemlerini elde etmek kesişim denklemlerini kurmamızı sağlar.

3

Ortak tanım kümesindeki kesişim noktalarını hesaplama

g ve h fonksiyonlarının ortak tanım kümesi [-2, 2] ile [-1, 4] aralıklarının kesişimi olan [-1, 2] aralığıdır. Bu aralıkta kesişimleri incelersek: 1) [-1, 0] aralığında: -1.5x = 1.5x + 1.5 => 3x = -1.5 => x = -0.5 olur. Buradan y = g(-0.5) = 0.75 elde edilir. İlk nokta P_1(-0.5, 0.75) olur. 2) [0, 1] aralığında: 1.5x = 1.5x + 1.5 => 0 = 1.5 (��özüm yoktur). 3) [1, 2] aralığında: 1.5x = -x + 4 => 2.5x = 4 => x = 1.6 olur. Buradan y = g(1.6) = 2.4 elde edilir. İkinci nokta P_2(1.6, 2.4) olur.

İki grafiğin kesiştiği noktaların apsis ve ordinat değerlerini bulmak için fonksiyon kuralları ortak çözülür.

4

Koordinatlar toplamını hesaplama

Bulunan noktaların koordinatları toplamı: (-0.5) + 0.75 + 1.6 + 2.4 = 0.25 + 4 = 4.25 = 17/4 bulunur.

Soru kökünde istenen nihai toplam değerine ulaşmak için tüm bileşenler toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun mutlak değer dönüşümü y = f(|x|), y eksenine göre yansıması y = f(-x) ve yatay/dikey ötelemelerin bileşkesi altında grafiklerin analizi.

Soru 5Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonu veriliyor.

g(x) = f(|x|)

h(x) = -g(x-1) + 2

olduğuna göre, $h(x) = 0$ denklemini sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı kaçtır?

-4

0

2

4

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 4'tür.

Doğru cevap olan 4 değeri, h(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerinin bulunup toplanmasıyla elde edilir. h(x) fonksiyonu x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğundan, tüm kökler bu doğruya göre simetrik çiftler oluşturur ve toplamları 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) fonksiyonunu oluşturma

g(x) = f(|x|) = |x|^2 - 4|x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3

fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyon y eksenine (

x = 0

doğrusuna) göre simetriktir.

h(x) fonksiyonunun tanımındaki g(x) bileşenini belirlemek için.

2

h(x) = 0 denklemini kurma ve sadeleştirme

-g(x-1) + 2 = 0 \implies g(x-1) = 2

denklemi elde edilir.

h(x)'in sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için.

3

g(x-1) = 2 denklemini çözme

(|x-1| - 2)^2 - 1 = 2 \implies (|x-1| - 2)^2 = 3

olur. Buradan

|x-1| - 2 = \sqrt{3}

veya

|x-1| - 2 = -\sqrt{3}

elde edilir.

Mutlak değerli denklemin köklerini bulmak için.

4

Kökleri tek tek hesaplama veya simetriyi kullanma

Birinci durumdan:

|x-1| = 2 + \sqrt{3} \implies x_1 = 3 + \sqrt{3}

ve

x_2 = -1 - \sqrt{3}

. İkinci durumdan:

|x-1| = 2 - \sqrt{3} \implies x_3 = 3 - \sqrt{3}

ve

x_4 = -1 + \sqrt{3}

. Tüm köklerin toplamı:

(3 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) + (-1 + \sqrt{3}) = 4

bulunur.

Denklemin tüm gerçel köklerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yansıma ve öteleme dönüşümlerinin simetri eksenine etkisi

Alternatif Yöntem

Denklemin köklerinin simetri ekseni olan

x = 1

doğrusuna göre simetrik olmasından faydalanılabilir.

g(x) = f(|x|)

fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan

x = 0

doğrusuna göre simetriktir.

h(x) = -g(x-1) + 2

fonksiyonu ise bu grafiğin 1 birim sağa ötelenmesiyle elde edildiği için simetri ekseni

x = 1

doğrusu olur.

h(x) = 0

denkleminin 4 farklı gerçel kökü olduğu belirlendikten sonra, kökler

x = 1

doğrusuna göre simetrik çiftler halinde olacağından, toplamları

2 \times 2 = 4

olarak doğrudan bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir $f$ fonksiyonunun grafiği $A(2, -3)$ noktasından geçmektedir.

Buna göre,

g(x) = -f(1 - x) + 4

biçiminde tanımlanan

g

fonksiyonunun grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden kesinlikle geçer?

(-1, 7)

(1, 7)

(-1, 1)

(1, 1)

(3, 7)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-1, 7)$

Cevap

g fonksiyonunun grafiği kesinlikle (-1, 7) noktasından geçer.

f fonksiyonu A(2, -3) noktasından geçtiği için f(2) = -3 olur. g(x) = -f(1-x) + 4 ifadesinde f(2) değerini kullanabilmek için 1-x = 2 eşitliğinden x = -1 bulunmalıdır. Bu x değeri için g(-1) = -f(2) + 4 = -(-3) + 4 = 7 elde edilir. Dolayısıyla g fonksiyonu kesinlikle (-1, 7) noktasından geçer.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen noktanın fonksiyon üzerindeki karşılığını yazma

f(2) = -3

f

fonksiyonunun grafiği

A(2, -3)

noktasından geçtiği için bu nokta fonksiyon denklemini sağlar.

2

g fonksiyonunda f(2) değerini elde etmek için gereken x girdisini bulma

x = -1

g(x) = -f(1-x) + 4

ifadesinde

f

fonksiyonunun içinin

2

olması gerekir. Buradan

1-x = 2 \implies x = -1

denklemi çözülür.

3

Bulunan x değerini g(x) denkleminde yerine yazıp y değerini hesaplama

g(-1) = 7

g(-1) = -f(1 - (-1)) + 4 = -f(2) + 4

olur.

f(2) = -3

değeri yerine yazıldığında

-(-3) + 4 = 3 + 4 = 7

elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yansıma ve öteleme dönüşümleri altında grafik üzerindeki noktaların koordinatlarının değişimi.

Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 - 4x + 5$ fonksiyonu veriliyor. $f$ fonksiyonunun grafiğinin $y$ -eksenine göre simetriği alındıktan sonra, elde edilen grafik $x$ -ekseni boyunca sağa 3 birim, $y$ -ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelenerek $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

x^2 + 10x + 28

x^2 - 10x + 28

x^2 + 2x + 4

x^2 - 2x + 4

x^2 - 10x + 44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^2 - 2x + 4$

Cevap

g(x) = x^2 - 2x + 4

Doğru seçenekteki

x^2 - 2x + 4

ifadesi, sırasıyla uygulanan

y

-eksenine göre yansıma (

x \rightarrow -x

), sağa 3 birim öteleme (

x \rightarrow x-3

) and yukarı 2 birim öteleme (

y \rightarrow y+2

) adımlarının doğru şekilde işletilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun y-eksenine göre simetriğini bulmak için fonksiyonda x yerine -x yazılır.

f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 5 = x^2 + 4x + 5

elde edilir.

Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenine göre simetriği f(-x) dönüşümü ile bulunur.

2

Elde edilen grafiği x-ekseni boyunca sağa 3 birim ötelemek için x yerine x-3 yazılır.

f(-(x-3)) = (x-3)^2 + 4(x-3) + 5 = x^2 - 6x + 9 + 4x - 12 + 5 = x^2 - 2x + 2

elde edilir.

Yatay doğrultuda sa��a doğru a birimlik öteleme, fonksiyonda x yerine x-a yazılarak gerçekleştirilir.

3

Bulunan fonksiyon grafiğini y-ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelemek için fonksiyona 2 eklenir.

g(x) = (x^2 - 2x + 2) + 2 = x^2 - 2x + 4

elde edilir.

Dikey doğrultuda yukarı doğru b birimlik öteleme, fonksiyona b birim eklenerek gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda y-eksenine göre simetri (yansıma) ve yatay/dikey öteleme dönüşümlerinin cebirsel olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

Dönüşümleri doğrudan fonksiyonun tepe noktası üzerinden gerçekleştirebiliriz.

f(x) = (x-2)^2 + 1

parabolünün tepe noktası

T(2, 1)

'dir.

y

-eksenine göre simetri alındığında tepe noktası

T'(-2, 1)

olur. Sağa 3 ve yukarı 2 birim ötelendiğinde yeni tepe noktası

T''(1, 3)

olur. Başkatsayı değişmediği için yeni fonksiyon

g(x) = (x-1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 4

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x|x| - 4x

fonksiyonu veriliyor.

$f$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Daha sonra $g$ fonksiyonunun grafiği $2$ birim sağa ve $1$ birim aşağı ötelenerek $h$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $h(4)$ değeri kaçtır?

11

-3

-5

3

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Dönüşümler doğru uygulandığında

h(4)

değeri

-5

olarak bulunur.

Doğru cevap

-5

'tir. Orijine göre simetri alındığında

g(x) = -f(-x) = x|x| - 4x

fonksiyonu elde edilir. Bu grafik

2

birim sağa ve

1

birim aşağı ötelendiğinde

h(x) = g(x-2) - 1

fonksiyonuna ulaşılır. Buradan

h(4) = g(2) - 1 = f(2) - 1 = -4 - 1 = -5

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x|x| - 4x

fonksiyonunun orijine göre simetriği olan

g(x)

fonksiyonunu belirlemek.

g(x) = x|x| - 4x

Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetriği

g(x) = -f(-x)

dönüşümüyle elde edilir.

f(-x) = (-x)|-x| - 4(-x) = -x|x| + 4x

olur. Buradan

g(x) = -(-x|x| + 4x) = x|x| - 4x

bulunur. (

f

tek fonksiyon olduğu için orijine göre simetriği kendisine eşittir).

2

g

fonksiyonunun grafiğinin

2

birim sağa ve

1

birim aşağı ötelenmesiyle oluşan

h(x)

fonksiyonunu yazmak.

h(x) = g(x-2) - 1

Yatayda

a

birim sağa öteleme

g(x-a)

ile, dikeyde

b

birim aşağı öteleme ise fonksiyondan

b

çıkarılarak yapılır.

3

h(4)

değerini hesaplamak.

h(4) = -5

h(4) = g(4-2) - 1 = g(2) - 1

olur.

g(2) = 2|2| - 4(2) = 4 - 8 = -4

olduğuna göre,

h(4) = -4 - 1 = -5

elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetri dönüşümleri ile yatay/dikey öteleme kuralları.

Soru 9Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 4x + 7$ parabolünün tepe noktası $T$ dir.
- $f$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak $g(x) = -f(-x)$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası $A$ olarak adlandırılıyor.
- $f$ fonksiyonunun grafiğine sırasıyla $y$ -eksenine göre simetri alma, $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde $2$ birim öteleme ve $y$ -ekseni boyunca pozitif yönde $2$ birim öteleme dönüşümleri uygulanarak $h(x) = f(2-x) + 2$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası $B$ olarak adlandırılıyor.

Buna göre, $A$ ve $B$ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

1

2

4

3

-4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 olan seçenektir.

Doğru cevap olan 4 seçeneği,

f(x)

parabolünün tepe noktası olan

(2,3)

noktasının dönüşümler altındaki görüntülerinin sırasıyla

A(-2, -3)

ve

B(0, 5)

olarak doğru belirlenmesi ve bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin formülüne uygun şekilde hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x + 7

parabolünün tepe noktasını bulalım.

f(x) = (x-2)^2 + 3

olduğundan tepe noktası

T_f(2, 3)

olur.

Symmetry dönüşümlerini uygulamak için referans noktamız olan tepe noktasının koordinatlarını bulmamız gerekir.

2

g(x) = -f(-x)

fonksiyonunun tepe noktası olan

A

noktasını belirleyelim.

A(-2, -3)

olur.

g(x) = -f(-x)

dönüş��mü, grafiğin orijine göre simetriğinin alınması anlamına gelir. Bu durumda

(x, y)

koordinatları

(-x, -y)

olur.

3

h(x) = f(2-x) + 2

fonksiyonunun tepe noktası olan

B

noktasını belirleyelim.

B(0, 5)

olur.

h(x) = f(-(x-2)) + 2

olduğundan, tepe noktası

T_f(2,3)

önce

y

-eksenine göre simetri ile

(-2, 3)

noktasına gelir, ardından

x

-ekseni boyunca pozitif yönde

2

birim ötelenerek

(0, 3)

olur ve son olarak

y

-ekseni boyunca pozitif yönde

2

birim ötelenerek

B(0, 5)

noktasına ulaşır.

4

A(-2, -3)

ve

B(0, 5)

noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.

m = \frac{5 - (-3)}{0 - (-2)} = \frac{8}{2} = 4

olur.

İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

şeklinde uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetrileri ile öteleme dönüşümlerinin tepe noktası koordinatları üzerindeki etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 10Soru →

Dik koordinat düzleminde, $[-4, 6]$ kapalı aralığında tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyon $[-4, 1]$ aralığında artan, $[1, 6]$ aralığında azalandır.

Buna göre,

g(x) = f(2 - x) - 3

biçiminde tanımlanan

g

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşa��ıdakilerden hangisidir?

[-2, 3]

[-6, -1]

[-4, 1]

[-2, 4]

[-2, 5]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-4, 1]$

Cevap

En geniş artanlık aralığı

[-4, 1]

aralığıdır.

Verilen

g(x) = f(2 - x) - 3

fonksiyonunun artan olması için, bağımsız değişken

x

arttıkça

g(x)

değerinin artması gerekir. Ancak

2-x

ifadesinde

x

arttıkça değer küçülür. Dolayısıyla,

g(x)

'in artan olması için

f

fonksiyonunun azalan olduğu

[1, 6]

aralığında işlem yapılması gerekir. Buradan

1 \le 2 - x \le 6

eşitsizliği elde edilir ve çözüldüğünde en geniş aralık

[-4, 1]

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(2 - x) - 3

fonksiyonunun artan olabilmesi için gerekli koşulu belirleme.

g(x)

fonksiyonunun artan olması,

x_1 < x_2

için

g(x_1) < g(x_2)

olmasını gerektirir. Bu da

f(2 - x_1) - 3 < f(2 - x_2) - 3 \implies f(2 - x_1) < f(2 - x_2)

demektir.

Artan fonksiyon tanımını uygulayarak

f

fonksiyonunun davranışını analiz etmek.

2

2-x

ifadesinin değişim yönü ile

f

fonksiyonunun artan/azalan olduğu aralıkları ilişkilendirme.

x_1 < x_2 \implies 2 - x_1 > 2 - x_2

olur.

u = 2 - x_1

ve

v = 2 - x_2

dersek,

u > v

iken

f(u) < f(v)

olması gerekir. Bu durum,

f

fonksiyonunun azalan olduğu aralıkta gerçekleşir.

Bağıms��z değişkenin işaretinin yön değiştirmesinin

f

fonksiyonunun artanlık/azalanlık karakterine etkisini belirlemek.

3

f

fonksiyonunun azalan olduğu aralığı kullanarak

x

için eşitsizliği çözme.

f

fonksiyonu

[1, 6]

aralığında azalandır. O halde

1 \le 2 - x \le 6

olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde:

1 \le 2 - x \le 6 \implies -1 \le -x \le 4 \implies -4 \le x \le 1

elde edilir.

g(x)

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun simetri ve öteleme dönüşümleri altındaki artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi

Fonksiyonların Simetri Dönüşümleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar