Examkin

Soru

Zorluk: ZorYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=∣x2−9∣−axf(x) = |x^2 - 9| - ax fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde tam olarak 3 tane yerel ekstremum noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    9
  3. 11Cevap
  4. D
    13
  5. E
    17

Cevap

Fonksiyonun 3 yerel ekstremum noktasına sahip olmasını sağlayan 11 farklı tam sayı değeri vardır.
Fonksiyonun tam olarak 3 adet yerel ekstremum noktasına sahip olabilmesi için −6<a<6-6 < a < 6 koşulunun sağlanması gerekir. Bu aralıkta yer alan tam sayıların sayısı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin kritik noktalarını belirleyip fonksiyonu parçalı biçimde yazın.
x<−3x < -3 veya x>3x > 3 için f(x)=x2−ax−9f(x) = x^2 - ax - 9; −3<x<3-3 < x < 3 için f(x)=9−x2−axf(x) = 9 - x^2 - ax elde edilir.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi, fonksiyonun farklı aralıklardaki cebirsel ifadesini belirlemek için gereklidir.
2
Aralıklara göre fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyin.
∣x∣>3|x| > 3 için f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a ve buradan kritik nokta x=a/2x = a/2 bulunur. ∣x∣<3|x| < 3 için f′(x)=−2x−af'(x) = -2x - a ve buradan kritik nokta x=−a/2x = -a/2 bulunur.
Ekstremum noktalarının bulunabilmesi için türevin işaret değiştirdiği yerel noktalar veya köşeler aranmalıdır.
3
Ekstremum noktası sayısının tam olarak 3 olması için gereken parametre sınırını analiz edin.
−6<a<6-6 < a < 6 olduğunda x=−a/2x = -a/2 noktası (−3,3)(-3, 3) aralığına düşer ve yerel maksimum olur. Aynı zamanda türevin bu aralıktaki sınırlarında (x=−3x = -3 ve x=3x = 3) işaret değişimi gerçekleşerek iki adet yerel minimum noktası oluşur. Toplamda 3 ekstremum noktası elde edilir.
Parametrenin sınır değerleri aşıldığında türevin kökleri ilgili aralıkların dışına çıkmakta ve köşe noktalarında yön değişimi engellendiği için ekstremum sayısı 1'e düşmektedir.
4
Bulunan aralıktaki tam sayıların adedini hesaplayın.
−6<a<6-6 < a < 6 aralığındaki tam sayılar {−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} olup 11 adettir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısını belirleyerek sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Fonksiyonun türevlenemediği köşe noktalarında da (sağ ve sol türev işaretleri zıt olmak koşuluyla) ekstremum noktaları bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru