Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizi ve Özellikleri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=mx+df(x) = mx + d doğrusal fonksiyonu veriliyor. Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri için her nn pozitif tam sayısı için an=f(n)a_n = f(n) eşitliği sağlanmaktadır.

f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16

olduğuna göre, a12a_{12} değeri kaçtır?

  1. A
    -13
  2. 29Cevap
  3. C
    32
  4. D
    37
  5. E
    71

Cevap

29
Ortak farkı pozitif olan aritmetik dizinin ortak farkı r=3r = 3 ve beşinci terimi a5=8a_5 = 8 olarak hesaplandığında, on ikinci terim a5+7r=8+21=29a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyon ile aritmetik dizi arasındaki ilişkiyi kurma.
f(x)=mx+df(x) = mx + d fonksiyonu için an=f(n)=mn+da_n = f(n) = mn + d olduğundan, dizinin ortak farkı r=mr = m olur.
Doğrusal fonksiyonun n değişkenine göre değişim oranı sabittir ve bu oran aritmetik dizinin ortak farkına eşittir.
2
f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18 eşitliğini kullanarak ortak farkı (rr) bulma.
f(a3)−f(a1)=m(a3−a1)=r(2r)=2r2=18  ⟹  r2=9f(a_3) - f(a_1) = m(a_3 - a_1) = r(2r) = 2r^2 = 18 \implies r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3 bulunur.
Aritmetik dizide terimler arasındaki fark indisler farkının ortak fark ile çarpımına eşittir (a3−a1=2ra_3 - a_1 = 2r).
3
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16 eşitliğinden yararlanarak beşinci terimi bulma.
a2+a8=2a5=16  ⟹  a5=8a_2 + a_8 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 bulunur.
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
4
Bulunan değerler yardımıyla a12a_{12} terimini hesaplama.
a12=a5+7r=8+7(3)=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 7(3) = 29 bulunur.
Bir terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim özelliği kullanılarak istenen terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde doğrusal fonksiyon ilişkisi, ortak fark ve indis özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru