Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizi ve Özellikleri

Ortak farkı rr olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk terimi a1a_1'dir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=r⋅x+a1f(x) = r \cdot x + a_1 doğrusal fonksiyonu için her nn pozitif tam sayısı adına

f(n)=an+4f(n) = a_n + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri arasında

a3+a9=30a_3 + a_9 = 30

bağıntısı olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    5
  3. -5Cevap
  4. D
    -9
  5. E
    -10

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri −5-5'tir.
Ortak fark r=4r = 4 olarak belirlendikten sonra, a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 denkleminde yerine yazıldığında 2a1+40=30  ⟹  2a1=−10  ⟹  a1=−52a_1 + 40 = 30 \implies 2a_1 = -10 \implies a_1 = -5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(n)f(n) fonksiyonu ile ana_n dizisi arasındaki ilişkiyi yazarak ortak fark rr'yi belirleme.
r=4r = 4
an=a1+(n−1)r=rn+a1−ra_n = a_1 + (n - 1)r = rn + a_1 - r genel terimi f(n)=rn+a1f(n) = rn + a_1 ifadesinde yerine yazıldığında, f(n)−an=rf(n) - a_n = r elde edilir. Soruda f(n)=an+4f(n) = a_n + 4 olarak verildiğinden r=4r = 4 bulunur.
2
a3+a9=30a_3 + a_9 = 30 indis özelliğini kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden bir denklem elde etme.
a1+5r=15a_1 + 5r = 15
Aritmetik dizide a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r ve a9=a1+8ra_9 = a_1 + 8r olduğundan, bu terimlerin toplamı a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 olur. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde a1+5r=15a_1 + 5r = 15 denklemi bulunur.
3
Bulunan r=4r = 4 değerini denklemde yerine yazarak a1a_1 değerini hesaplama.
a1=−5a_1 = -5
a1+5(4)=15  ⟹  a1+20=15  ⟹  a1=−5a_1 + 5(4) = 15 \implies a_1 + 20 = 15 \implies a_1 = -5 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru