1'den farklı a ve b pozitif tam sayıları için \log_a b bir tam sayıdır. \log_2 a + \log_4 … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den farklı

a

b

pozitif tam sayıları için

\log_a b

bir tam sayıdır.

\log_2 a + \log_4 b = 5

\log_a 2 + \log_b 4 = \frac{5}{6}

olduğuna göre,

\log_a b

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 3

Logaritma taban değiştirme kuralları ve değişken dönüşümü uygulandığında, verilen koşulları sağlayan tek durum

\log_a b = 3

değeridir.

Değişken dönüşümü yapılıp sistem çözüldüğünde elde edilen

a = 4

b = 64

değerleri için

\log_4 64 = 3

tam sayı değerine ulaşılır. Diğer olası çözüm olan

a = 8

b = 16

değerleri için

\log_8 16 = 4/3

tam sayı olmadığından elenir.

\log_2 a = x

\log_2 b = y

değişken dönüşümünü yapın ve birinci denklemi bu değişkenler cinsinden ifade edin.

x + \frac{1}{2}y = 5 \implies y = 10 - 2x

elde edilir.

Birinci denklemi basitleştirerek değişkenler arasında bir bağıntı kurmak için.

İkinci denklemdeki terimleri taban değiştirme özelliklerini kullanarak

x

y

cinsinden yazın.

\log_a 2 = \frac{1}{x}

\log_b 4 = \frac{2}{y}

olduğundan,

\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{5}{6}

elde edilir.

Tüm ifadeleri 2 tabanına indirgeyerek ortak bir denklem sistemi oluşturmak için.

y = 10 - 2x

ifadesini ikinci denklemde yerine koyun ve oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.

\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x} = \frac{5}{6} \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2

veya

x = 3

bulunur.

Bilinmeyen sayısını bire indirgeyerek denklemin köklerini bulmak için.

Bulunan

x

değerlerine karşılık gelen

y

değerlerini hesaplayın ve

\log_a b = \frac{y}{x}

oranının tam sayı olma koşulunu inceleyin.

x = 2

için

y = 6

\log_a b = 3

(tam sayı) olur.

x = 3

için

y = 4

\log_a b = \frac{4}{3}

(tam sayı değil) olur.

Soruda verilen tam sayı olma koşulunu sağlayan tek durumu belirlemek için.

Logaritma Taban Değiştirme ve Özellikleri

Soru