Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde; birinci bölgede y=3x2y = 3x^2 eğrisi, y=12y = 12 doğrusu ve yy-ekseni ile sınırlandırılan bölge, orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile eşit alanlı iki bölgeye ayrılmaktadır.

Buna göre, mm değeri kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    6
  3. C
    8
  4. 9Cevap
  5. E
    12

Cevap

Doğrunun eğimi olan m değeri 9 olarak bulunur.
Toplam alan integral yardımıyla 16 birimkare olarak bulunur. y = mx doğrusunun bu alanı 8'er birimkarelik iki parçaya bölmesi gerekir. Üst sınır doğrusu olan y = 12 ile y-ekseni arasında kalan dik üçgenin alanı 8 birimkareye eşitlendiğinde m = 9 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınırları verilen bölgenin kesim noktalarını belirlemek.
y=3x2y = 3x^2 eğrisi ile y=12y = 12 doğrusu ortak çözüldüğünde 3x2=12⇒x2=4⇒x=23x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 bulunur (birinci bölgede olduğumuz için x=2x = 2 alınır). Bölge x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığındadır.
Belirli integralin sınırlarını doğru tespit etmek amacıyla kesişim noktasının apsis değerini bulmamız gerekir.
2
Sınırlandırılmış bölgenin toplam alanını belirli integral yardım��yla hesaplamak.
Alan S=∫02(12−3x2) dx=[12x−x3]02=(24−8)−0=16S = \int_0^2 (12 - 3x^2) \, dx = \left[ 12x - x^3 \right]_0^2 = (24 - 8) - 0 = 16 birimkare olarak hesaplanır.
Bölgeyi iki eşit parçaya bölebilmek için öncelikle toplam alanın büyüklüğünü bilmemiz gerekir.
3
Eşit alanlı iki bölgeye ayrılma koşulunu ve doğrunun kesim noktasını analiz etmek.
Her bir alt bölgenin alanı 16/2=816 / 2 = 8 birimkare olmalıdır. y=mxy = mx doğrusu y=12y = 12 doğrusunu x=12mx = \frac{12}{m} noktasında keser. m≥6m \ge 6 durumu için bu kesişim noktası bölgenin içinde veya solunda kalır ve sol tarafta y-ekseni, y=12y = 12 ve y=mxy = mx arasında bir dik üçgen oluşur.
Geometrik olarak alan paylaşımını ifade etmek ve denklem kurmak için.
4
Oluşan dik üçgenin alanını 8 birimkareye eşitleyerek m değerini çözmek.
Dik üçgenin köşeleri (0,0)(0,0), (0,12)(0,12) ve (12m,12)(\frac{12}{m}, 12) noktalarıdır. Alanı 12×12×12m=72m\frac{1}{2} \times 12 \times \frac{12}{m} = \frac{72}{m} olur. Buradan 72m=8⇒m=9\frac{72}{m} = 8 \Rightarrow m = 9 elde edilir. 9≥69 \ge 6 olduğundan bu varsayım geçerlidir.
İstenen m parametresinin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak iki eğri arasında kalan alanı hesaplama ve analitik düzlemde geometrik alan paylaşımı uygulamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru