Examkin

Soru

Zorluk: KolayTrigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Analitik düzlemde, f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −sin⁡(2x)-\sin(2x)
  2. B
    cos⁡(2x−π4)\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)
  3. sin⁡(2x)\sin(2x)Cevap
  4. D
    cos⁡(2x+π4)\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)
  5. E
    −cos⁡(2x)-\cos(2x)

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni fonksiyon sin⁡(2x)\sin(2x) şeklindedir.
Verilen fonksiyon grafiğini yatay doğrultuda sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelemek için xx yerine x−π4x - \frac{\pi}{4} yazılır. Buradan g(x)=cos⁡(2(x−π4))=cos⁡(2x−π2)g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) elde edilir. Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliği (cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta)) kullanılarak ifade cos⁡(π2−2x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) şeklinde yazılabilir. π2\frac{\pi}{2} cinsinden yapılan indirgemelerde isim değişerek sinüse döner ve birinci bölgede işaret pozitif olduğundan sonuç sin⁡(2x)\sin(2x) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay doğrultuda sağa öteleme için bağımsız değişkene uygulanacak dönüşümü belirleme.
Sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birimlik öteleme için fonksiyondaki xx değişkeni yerine x−π4x - \frac{\pi}{4} yazılmalıdır.
Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde, girdilerin aynı çıktıları daha geç vermesi için bağımsız değişkenden öteleme miktarı çıkarılır.
2
f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) kuralında dönüşümü yerine yazarak yeni fonksiyon kuralını elde etme.
g(x)=cos⁡(2(x−π4))=cos⁡(2x−π2)g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)
Öteleme dönüşümü doğrudan bağımsız değişkene uygulanmalı ve parantez içi katsayı ile çarpılarak dağıtılmalıdır.
3
Elde edilen ifadeyi kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirme.
g(x)=cos⁡(−(π2−2x))=cos⁡(π2−2x)=sin⁡(2x)g(x) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)
Her θ\theta için cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) ve birbirini 90∘90^\circ ye tamamlayan (tümler) açıların kosinüsü sinüsüne eşittir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yatay öteleme dönüşümü ve indirgeme formülleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Bu konudan daha fazla soru