Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Tanım kümesi R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\} olan
f(x)=x2+axx−3f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 3}
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 99'dur.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. 0Cevap
  2. B
    3
  3. C
    36
  4. D
    -6
  5. E
    -9

Cevap

Yerel maksimum noktas��nın koordinatları toplamı 00'dır.
Fonksiyonun türevi alınıp yerel minimum noktasının apsisi olan 99 yerine yazıldığında a=9a = 9 bulunur. Buradan türevin diğer kökü olan yerel maksimum noktasının apsisi x=−3x = -3 olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum noktasının koordinatları (−3,3)(-3, 3) olur. Bu koordinatların toplamı −3+3=0-3 + 3 = 0 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini elde ederiz.
f′(x)=(2x+a)(x−3)−(x2+ax)(x−3)2=x2−6x−3a(x−3)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x-3) - (x^2+ax)}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 3a}{(x-3)^2}
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türev fonksiyonunun işaretini incelememiz gerekir.
2
Yerel minimum noktasının apsisi 99 olduğuna göre, bu noktada türev sıfıra eşit olmalıdır (f′(9)=0f'(9) = 0).
92−6(9)−3a=0  ⟹  81−54−3a=0  ⟹  3a=27  ⟹  a=99^2 - 6(9) - 3a = 0 \implies 81 - 54 - 3a = 0 \implies 3a = 27 \implies a = 9
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıf��rdır.
3
a=9a = 9 değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp türevi sıfır yapan diğer kritik noktayı buluruz.
f′(x)=x2−6x−27(x−3)2=(x−9)(x+3)(x−3)2=0  ⟹  x=9 veya x=−3f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 27}{(x-3)^2} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x-3)^2} = 0 \implies x = 9 \text{ veya } x = -3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türevin tüm köklerini bulmamız gerekir.
4
f′(x)f'(x) türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktasını tespit ederiz.
x<−3x < -3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −3<x<3-3 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), 3<x<93 < x < 9 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x>9x > 9 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Buna göre, x=−3x = -3 noktası yerel maksimum noktasıdır.
Türevin işareti pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.
5
Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını hesaplarız.
y=f(−3)=(−3)2+9(−3)−3−3=−18−6=3y = f(-3) = \frac{(-3)^2 + 9(-3)}{-3 - 3} = \frac{-18}{-6} = 3 olur. Koordinatlar toplamı: x+y=−3+3=0x + y = -3 + 3 = 0 bulunur.
Bizden yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı istendiği için apsis ve elde ettiğimiz ordinat değerini toplarız.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve koordinat analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru