Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı bir xx pozitif gerçel sayısı için,
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2(x2)⋅log⁡3(x3)+log⁡3(x3)⋅log⁡5(x5)+log⁡5(x5)⋅log⁡2(x2)\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2(x^2) \cdot \log_3(x^3) + \log_3(x^3) \cdot \log_5(x^5) + \log_5(x^5) \cdot \log_2(x^2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx tam sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevap: 6

Cevap

Bu eşitliği sağlayan xx tam sayısı 215⋅310⋅562^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 olup, bu sayının sondan 6 basamağı sıfırdır.
Logaritma kuralları (üs başa çarpım olarak geçer, 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a ve tabanlar aynı olduğunda toplam durumundaki logaritmaların içleri çarpılır) doğru bir şekilde uygulandığında x=215⋅310⋅56x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 olarak bulunur. Bu sayının sondan sıfır sayısı ise çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına yani 6'ya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın üs özelliğini (log⁡a(xk)=klog⁡ax\log_a(x^k) = k \log_a x) kullanarak denklemdeki terimleri düzenlemek
log⁡2(x2)=2log⁡2x\log_2(x^2) = 2\log_2 x, log⁡3(x3)=3log⁡3x\log_3(x^3) = 3\log_3 x ve log⁡5(x5)=5log⁡5x\log_5(x^5) = 5\log_5 x olarak bulunur.
Denklemdeki karmaşık ifadeleri sadeleştirmek ve ortak çarpanlar elde etmek için.
2
u=log⁡2xu = \log_2 x, v=log⁡3xv = \log_3 x ve w=log⁡5xw = \log_5 x değişken değiştirmelerini yapmak ve denklemde yerine yazmak
u⋅v⋅w=(2u)⋅(3v)+(3v)⋅(5w)+(5w)⋅(2u)u \cdot v \cdot w = (2u) \cdot (3v) + (3v) \cdot (5w) + (5w) \cdot (2u) yani uvw=6uv+15vw+10wuuvw = 6uv + 15vw + 10wu denklemi elde edilir.
Değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi daha kolay görebilmek için.
3
x≠1x \neq 1 olduğundan u,v,w≠0u, v, w \neq 0 olduğunu belirtip denklemin her iki tarafını uvwuvw ifadesine bölmek
1=15u+10v+6w1 = \frac{15}{u} + \frac{10}{v} + \frac{6}{w} denklemi elde edilir.
Değişkenleri rasyonel terimler halinde yazarak taban değiştirme kuralını uygulayabilmek için.
4
Taban değiştirme özelliğini (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanarak terimleri xx tabanında yazmak
1=15log⁡x2+10log⁡x3+6log⁡x51 = 15\log_x 2 + 10\log_x 3 + 6\log_x 5 denklemi elde edilir.
Logaritmaları aynı tabanda birleştirerek tek bir logaritma ifadesi elde etmek için.
5
Logaritmanın toplama ve üs özelliklerini (log⁡ay+log⁡az=log⁡a(yz)\log_a y + \log_a z = \log_a (yz) ve klog⁡ay=log⁡aykk\log_a y = \log_a y^k) kullanarak denklemi çözmek
1=log⁡x(215⋅310⋅56)  ⟹  x=215⋅310⋅561 = \log_x(2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6) \implies x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 bulunur.
xx değerini açık biçimde elde etmek için.
6
x=215⋅310⋅56x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak
Sondan sıfır sayısı, sayının çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına eşittir. min⁡(15,6)=6\min(15, 6) = 6 basamağı sıfırdır.
Sondan sıfır sayısını bulmak için 10 çarpanının adedini belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve üs özellikleri ile sayılar teorisinde asal çarpanlara ayırma prensiplerinin birlikte kullanımı.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru