Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2+xy−2x=0x^2 + xy - 2x = 0
y2−x2=16y^2 - x^2 = 16

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçel sayı ikililerinin oluşturduğu çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\}Cevap
  2. B
    {(−3,5)}\{(-3, 5)\}
  3. C
    {(0,4),(−3,5)}\{(0, 4), (-3, 5)\}
  4. D
    {(0,4),(0,−4),(3,−1)}\{(0, 4), (0, -4), (3, -1)\}
  5. E
    {(0,2),(0,−2),(−3,5)}\{(0, 2), (0, -2), (-3, 5)\}

Cevap

Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olan seçenektir.
Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olan seçenek doğrudur. Çünkü ilk denklemden x=0x = 0 alındığında y2=16y^2 = 16 ise y=±4y = \pm 4 elde edilerek (0,4)(0, 4) ve (0,−4)(0, -4) çözümlerine ulaşılır. x≠0x \neq 0 durumunda ise y=2−xy = 2 - x ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında x=−3x = -3 ve y=5y = 5 bulunarak (−3,5)(-3, 5) çözümü elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi ortak çarpan parantezine alarak çözümleri iki duruma ayırın.
x(x+y−2)=0x(x + y - 2) = 0 elde edilir. Buradan x=0x = 0 veya x+y−2=0x + y - 2 = 0 (yani y=2−xy = 2 - x) olur.
Çarpım durumundaki bir ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
Birinci durum olan x=0x = 0 değerini ikinci denklemde yerine yazın.
y2−02=16y^2 - 0^2 = 16 ise y2=16y^2 = 16 olur. Buradan y=4y = 4 veya y=−4y = -4 bulunur.
Sistemin birinci denklemini sağlayan x=0x = 0 değerinin, ikinci denklemi de sağlaması gerekir.
3
İkinci durum olan y=2−xy = 2 - x ifadesini ikinci denklemde yerine yazın ve xx değerini bulun.
(2−x)2−x2=16(2 - x)^2 - x^2 = 16 ise 4−4x+x2−x2=164 - 4x + x^2 - x^2 = 16 olur. Buradan −4x=12-4x = 12 ve x=−3x = -3 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli hale getirmek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan x=−3x = -3 değerini y=2−xy = 2 - x eşitliğinde yerine yazarak yy değerini hesaplayın.
y=2−(−3)=5y = 2 - (-3) = 5 bulunur. Buradan (−3,5)(-3, 5) çözüm ikilisi elde edilir.
Bulunan xx değerine karşılık gelen yy koordinatını belirlemek gerekir.
5
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) sıralı ikililerini bir araya getirerek çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olarak elde edilir.
Denklem sistemini sağlayan tüm gerçel çözümler kümesini ifade etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma ve yerine koyma yöntemlerinin uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri