Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2+y2=xy+7x^2 + y^2 = xy + 7
x+y=xy+1x + y = xy + 1

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Verilen denklem sistemi x+y=Sx+y=S ve xy=Pxy=P dönüşümleriyle çözüldüğünde, sistemin gerçel sayılardaki çözümlerinden elde edilen x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği değerler sırasıyla 10 ve 5 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması ve sistemin basitleştirilmesi
x2+y2=S2−2Px^2 + y^2 = S^2 - 2P yazarak denklem sistemi şu şekle dönüştürülür:
1) S2−3P=7S^2 - 3P = 7
2) S−P=1S - P = 1
Sistemdeki simetrik ifadeleri S=x+yS = x+y ve P=xyP = xy cinsinden yazarak çözüm derecesini düşürmek.
2
Tek değişkene bağlı ikinci dereceden denklemin oluşturulması ve çözülmesi
P=S−1P = S - 1 ifadesi birinci denklemde yerine yazıldığında S2−3(S−1)=7  ⟹  S2−3S−4=0S^2 - 3(S - 1) = 7 \implies S^2 - 3S - 4 = 0 elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (S−4)(S+1)=0(S-4)(S+1) = 0 olup S=4S = 4 veya S=−1S = -1 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklem biçimine getirip kökleri bulmak.
3
Her bir durum için gerçel çözümlerin varlığının kontrol edilmesi ve istenen toplamın hesaplanması
S=4S = 4 için P=3P = 3 olur. t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0 denkleminin kökleri gerçeldir ve x2+y2=S2−2P=16−6=10x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 16 - 6 = 10 değerini verir.
S=−1S = -1 için P=−2P = -2 olur. t2+t−2=0t^2 + t - 2 = 0 denkleminin kökleri gerçeldir ve x2+y2=S2−2P=1−2(−2)=5x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 1 - 2(-2) = 5 değerini verir.
Farklı değerlerin toplamı 10+5=1510 + 5 = 15 olarak hesaplanır.
Köklerin gerçel sayı olup olmadığını kontrol etmek ve x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerleri toplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme yöntemiyle simetrik toplam ve çarpım değerlerinin bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri