Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
2x2−3xy+y2=0x2−xy−y2=−5\begin{aligned} 2x^2 - 3xy + y^2 &= 0 \\ x^2 - xy - y^2 &= -5 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının alabileceği en büyük de��er 10'dur.
Sistemdeki ilk denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla elde edilen y=xy = x ilişkisi ikinci denklemde yerine yazıldığında x2=5x^2 = 5 elde edilir. Bu durum koordinatların karesinin toplamını 5+5=105 + 5 = 10 yapar. Diğer durum olan y=2xy = 2x ilişkisinden ise x2+y2=5x^2 + y^2 = 5 değeri elde edilir. Dolayısıyla en büyük değer 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi çarpanlarına ayırma
(2x−y)(x−y)=0(2x - y)(x - y) = 0 denkleminden y=2xy = 2x ve y=xy = x eşitlikleri elde edilir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde homojen olan denklem çarpanlarına ayrılarak değişkenler arasında doğrusal ilişkiler kurulur.
2
Birinci durumun (y=2xy = 2x) ikinci denklemde yerine yazılması
x2−2x2−4x2=−5⇒−5x2=−5⇒x=±1x^2 - 2x^2 - 4x^2 = -5 \Rightarrow -5x^2 = -5 \Rightarrow x = \pm 1 ve buna bağlı olarak (1,2)(1, 2), (−1,−2)(-1, -2) çözümleri elde edilir.
Elde edilen birinci doğrusal ilişkiyi sistemin diğer denkleminde yerine yazarak ortak çözümleri bulmak.
3
İkinci durumun (y=xy = x) ikinci denklemde yerine yazılması
x2−x2−x2=−5⇒−x2=−5⇒x=±5x^2 - x^2 - x^2 = -5 \Rightarrow -x^2 = -5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5} ve buna bağlı olarak (5,5)(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (−5,−5)(-\sqrt{5}, -\sqrt{5}) çözümleri elde edilir.
Elde edilen ikinci doğrusal ilişkiyi sistemin diğer denkleminde yerine yazarak diğer ortak çözümleri bulmak.
4
Maksimum değeri bulmak için elde edilen çözümlerin değerlendirilmesi
y=2xy = 2x durumundan gelen çözümler için x2+y2=5x^2 + y^2 = 5, y=xy = x durumundan gelen çözümler için ise x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 bulunur. En büyük değer 10 olarak belirlenir.
Bulunan tüm gerçek sayı çözümleri için hedeflenen ifadenin değerini hesaplayıp en büyüğünü seçmek.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri