\begin{aligned} x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y &= 4 \\ x + 2y &= 5 \end{aligned} denklem sistem… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\begin{aligned} x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y &= 4 \\ x + 2y &= 5 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için $x + y$ toplamının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Cevap: 3

Denklem sistemini sağlayan

(x, y)

gerçel sayı ikilileri için

x + y

toplamının alabileceği tam sayı değeri 3'tür.

Sistemdeki birinci denklem

(x-y-4)(x-y+1)=0

olarak çarpanlarına ayrılır. Bu doğrusal çarpanlar ikinci denklem olan

x+2y=5

ile ayrı ayrı ortak çözüldüğünde koordinatları tam sayı olan tek çözüm

(1, 2)

ikilisi olur ve bu ikilinin koordinatları toplamı 3'tür.

Birinci denklemi

(x-y)

ifadesine bağlı olarak düzenleyelim.

(x-y)^2 - 3(x-y) - 4 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemde

u = x-y

dönüşümü yapılırsa

u^2 - 3u - 4 = 0

olur. Çarpanlarına ayırdığımızda

(u-4)(u+1) = 0

elde edilir. Buradan

x-y = 4

veya

x-y = -1

bulunur.

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak

x

y

arasındaki doğrusal ilişkileri tespit etmek için.

Elde edilen doğrusal ilişkileri

x + 2y = 5

denklemi ile ortak çözelim.

Birinci durum:

x - y = 4 \Rightarrow x = y + 4

. İkinci denklemde yerine yazarsak

(y+4) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = 1/3

x = 13/3

olur.
İkinci durum:

x - y = -1 \Rightarrow x = y - 1

. İkinci denklemde yerine yazarsak

(y-1) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2

x = 1

olur.

Sistemin gerçel sayı çözümlerini

(x, y)

ikilileri olarak elde etmek için.

Her iki durum için

x + y

toplamlarını hesaplayalım ve tam sayı olan değeri belirleyelim.

Birinci durumdan:

x + y = 13/3 + 1/3 = 14/3

İkinci durumdan:

x + y = 1 + 2 = 3

elde edilir. Bu değerlerden tam sayı olanı 3'tür.

Soruda istenen koşulu sağlayan tam sayı değerini belirlemek için.

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Soru