Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Gerçel sayılar kümesinin uygun alt kümelerinde tanımlı f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 ve g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} fonksiyonlarının grafikleri, koordinat eksenleri ve y=5y = 5 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    943\frac{94}{3}
  2. B
    1123\frac{112}{3}
  3. 1243\frac{124}{3}Cevap
  4. D
    1403\frac{140}{3}
  5. E
    52

Cevap

İstenen sınırlı bölgenin alanı \frac{124}{3} birimkaredir.
Grafikler dik koordinat sisteminde çizildiğinde, aranan bölgenin alanı [0,26]×[0,5][0, 26] \times [0, 5] boyutlarındaki dikdörtgenden, sol üstte kalan ve alanı 163\frac{16}{3} olan bölge ile sağ altta kalan ve alanı 2503\frac{250}{3} olan bölgenin çıkarılmasıyla elde edilir. Bu fark 130−2663=1243130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların kesim noktalarını belirlemek için denklemleri kurarız.
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 eğrisi ile y=5y = 5 doğrusunun kesim noktasının apsisi: x2+1=5  ⟹  x=2x^2 + 1 = 5 \implies x = 2 olur (birinci bölgede çalışıldığından). g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} eğrisi ile y=5y = 5 doğrusunun kesim noktasının apsisi: \sqrt{x-1} = 5 \implies x - 1 = 25 \implies x = 26$ olur.
İntegral sınırlarını belirlemek ve bölgenin geometrik s��nırlarını anlamak için kesim noktaları gereklidir.
2
Aranan bölgenin alanını doğrudan x-eksenine göre entegre etmek yerine, [0,26]×[0,5][0, 26] \times [0, 5] dikdörtgeninin alanından istenmeyen bölgelerin alanlarını çıkarma stratejisini uygularız.
Çevreleyen dikdörtgenin alanı: 26×5=13026 \times 5 = 130 birimkaredir.
Bu yöntem, çok parçalı integral işlemlerinden kaçınarak çözümü kolaylaştırır.
3
Dikdörtgenin içinde kalan ama aradığımız bölgeye dahil olmayan iki yardımcı alanın (A1A_1 ve A2A_2) değerlerini hesaplarız.
Sol üstteki tamamlayıcı alan (A1A_1): yy-ekseni, y=5y = 5 doğrusu ve y=x2+1y = x^2 + 1 eğrisi aras��ndadır. f−1(y)=y−1f^{-1}(y) = \sqrt{y-1} kullanılarak: A1=∫15y−1 dy=[23(y−1)3/2]15=163A_1 = \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \left[ \frac{2}{3}(y-1)^{3/2} \right]_{1}^{5} = \frac{16}{3} birimkare.
Sağ alttaki tamamlayıcı alan (A2A_2): g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} eğrisi, xx-ekseni ve x=26x = 26 doğrusu arasındadır: A2=∫126x−1 dx=[23(x−1)3/2]126=2503A_2 = \int_{1}^{26} \sqrt{x-1} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} \right]_{1}^{26} = \frac{250}{3} birimkare.
İstenmeyen bu alanlar, ters fonksiyon ilişkisi ve temel belirli integral formülleriyle bulunur.
4
Dikdörtgenin toplam alanından bu iki alanı çıkartarak aradığımız alanı elde ederiz.
Alan = 130−(A1+A2)=130−(163+2503)=130−2663=1243130 - (A_1 + A_2) = 130 - \left( \frac{16}{3} + \frac{250}{3} \right) = 130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3} birimkare.
Hedef bölgenin alanı, dikdörtgen alanı ile diğer iki bölgenin farkına eşittir.

Anahtar Kavram

Ters fonksiyon ilişkileri ve dikdörtgen tamamlama (tamamlayıcı alan) yöntemiyle belirli integral yardımıyla alan hesabı.

Alternatif Yöntem

Aranan alan, y-eksenine göre integral alınarak da hesaplanabilir. y∈[0,5]y \in [0, 5] aralığında sağ sınır x=y2+1x = y^2 + 1 parabolü (g−1(y)g^{-1}(y)), sol sınır ise y∈[0,1]y \in [0, 1] için x=0x = 0 (y-ekseni) ve y∈[1,5]y \in [1, 5] için x=y−1x = \sqrt{y-1} (f−1(y)f^{-1}(y)) eğrisidir. Buradan alan integral ifadesi olarak:
Alan=∫01(y2+1) dy+∫15((y2+1)−y−1) dy\text{Alan} = \int_{0}^{1} (y^2 + 1) \, dy + \int_{1}^{5} \left( (y^2 + 1) - \sqrt{y-1} \right) \, dy
şeklinde kurulur. Bu ifade düzenlenerek:
Alan=∫05(y2+1) dy−∫15y−1 dy=1403−163=1243\text{Alan} = \int_{0}^{5} (y^2 + 1) \, dy - \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \frac{140}{3} - \frac{16}{3} = \frac{124}{3}
elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru