Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonların Simetri Dönüşümleri

Dik koordinat düzleminde, [−4,6][-4, 6] kapalı aralığında tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyon [−4,1][-4, 1] aralığında artan, [1,6][1, 6] aralığında azalandır.

Buna göre,
g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşa��ıdakilerden hangisidir?
  1. A
    [−2,3][-2, 3]
  2. B
    [−6,−1][-6, -1]
  3. [−4,1][-4, 1]Cevap
  4. D
    [−2,4][-2, 4]
  5. E
    [−2,5][-2, 5]

Cevap

En geniş artanlık aralığı [−4,1][-4, 1] aralığıdır.
Verilen g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3 fonksiyonunun artan olması için, bağımsız değişken xx arttıkça g(x)g(x) değerinin artması gerekir. Ancak 2−x2-x ifadesinde xx arttıkça değer küçülür. Dolayısıyla, g(x)g(x)'in artan olması için ff fonksiyonunun azalan olduğu [1,6][1, 6] aralığında işlem yapılması gerekir. Buradan 1≤2−x≤61 \le 2 - x \le 6 eşitsizliği elde edilir ve çözüldüğünde en geniş aralık [−4,1][-4, 1] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3 fonksiyonunun artan olabilmesi için gerekli koşulu belirleme.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olması, x1<x2x_1 < x_2 için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) olmasını gerektirir. Bu da f(2−x1)−3<f(2−x2)−3  ⟹  f(2−x1)<f(2−x2)f(2 - x_1) - 3 < f(2 - x_2) - 3 \implies f(2 - x_1) < f(2 - x_2) demektir.
Artan fonksiyon tanımını uygulayarak ff fonksiyonunun davranışını analiz etmek.
2
2−x2-x ifadesinin değişim yönü ile ff fonksiyonunun artan/azalan olduğu aralıkları ilişkilendirme.
x1<x2  ⟹  2−x1>2−x2x_1 < x_2 \implies 2 - x_1 > 2 - x_2 olur. u=2−x1u = 2 - x_1 ve v=2−x2v = 2 - x_2 dersek, u>vu > v iken f(u)<f(v)f(u) < f(v) olması gerekir. Bu durum, ff fonksiyonunun azalan olduğu aralıkta gerçekleşir.
Bağıms��z değişkenin işaretinin yön değiştirmesinin ff fonksiyonunun artanlık/azalanlık karakterine etkisini belirlemek.
3
ff fonksiyonunun azalan olduğu aralığı kullanarak xx için eşitsizliği çözme.
ff fonksiyonu [1,6][1, 6] aralığında azalandır. O halde 1≤2−x≤61 \le 2 - x \le 6 olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde:
1≤2−x≤6  ⟹  −1≤−x≤4  ⟹  −4≤x≤11 \le 2 - x \le 6 \implies -1 \le -x \le 4 \implies -4 \le x \le 1 elde edilir.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun simetri ve öteleme dönüşümleri altındaki artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Simetri Dönüşümleri

Bu konudan daha fazla soru