Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizi ve Özellikleri

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, r>0r > 0 olduğu bilinmektedir.

Bu dizinin terimleri arasında
a2+a5+a8=24a_2 + a_5 + a_8 = 24
a1⋅a9=−80a_1 \cdot a_9 = -80

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri kaçtır?

Cevap: 29

Cevap

Dizinin 12. teriminin değeri 29'dur.
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5 bağıntısından a5=8a_5 = 8 bulunur. Ardından a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r terimleri yerine yazıldığında, (8−4r)(8+4r)=−80(8-4r)(8+4r) = -80 eşitliğiyle r2=9r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3'tür. Son adımda a12=a5+7r=8+21=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizideki terimlerin indis özelliklerini kullanarak a5a_5 terimini bulmak.
a5=8a_5 = 8
Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir (a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5).
2
a1a_1 ve a9a_9 terimlerini a5a_5 ve rr cinsinden yazarak ortak fark rr değerini bulmak.
r=3r = 3
a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r ifadelerinin çarpımı 64−16r2=−8064 - 16r^2 = -80 denklemine yol açar. Buradan r2=9r^2 = 9 ve r>0r > 0 olduğu için r=3r = 3 elde edilir.
3
a12a_{12} terimini a5a_5 ve rr kullanarak hesaplamak.
a12=29a_{12} = 29
a12=a5+7ra_{12} = a_5 + 7r formülünde a5=8a_5 = 8 ve r=3r = 3 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimler arası doğrusal ilişkiler, indis özellikleri ve ortak farkın bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru