Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−2x2+1f(x) = x^3 - 2x^2 + 1
ve x>−13x > -\frac{1}{3} için tanımlı gg fonksiyonu
g(x)=3x+1g(x) = \sqrt{3x + 1}
biçiminde veriliyor.

Buna göre, h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=8x = 8 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevap: 16.5

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi kuralına göre h′(8)=16,5h'(8) = 16,5 olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulandığında h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) eşitliği yazılır. g(8)=5g(8) = 5 ve g′(8)=0,3g'(8) = 0,3 değerleri ile f′(5)=55f'(5) = 55 değeri yerine yazılıp çarpıldığında doğru yanıt olan 16,516,5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını belirleme
h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) olup x=8x = 8 için h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) olur.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(8)g(8) ve g′(8)g'(8) değerlerini hesaplama
g(8)=3⋅8+1=25=5g(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{25} = 5 ve g′(x)=323x+1g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} olduğundan g′(8)=3225=310=0,3g'(8) = \frac{3}{2\sqrt{25}} = \frac{3}{10} = 0,3 bulunur.
Formülde kullanılmak üzere içteki fonksiyonun x=8x=8 noktasındaki değeri ve türev değeri hesaplanır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve f′(g(8))f'(g(8)) değerini hesaplama
f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x olduğundan, f′(g(8))=f′(5)=3(5)2−4(5)=75−20=55f'(g(8)) = f'(5) = 3(5)^2 - 4(5) = 75 - 20 = 55 bulunur.
Dıştaki fonksiyonun türevinde, içteki fonksiyonun görüntüsü olan 55 değeri yerine yazılır.
4
Değerleri bileşke türev formülünde yerine yazarak sonucu bulma
h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)=55⋅0,3=16,5h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) = 55 \cdot 0,3 = 16,5 bulunur.
Elde edilen ara değerler çarpılarak bileşke fonksiyonun türev değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi hesaplanıp içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Bu konudan daha fazla soru