Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S8−S5=81S_8 - S_5 = 81
S6−S3=57S_6 - S_3 = 57

olduğuna göre, bu dizinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

  1. A
    200
  2. 210Cevap
  3. C
    230
  4. D
    390
  5. E
    420

Cevap

İlk 10 terim toplamı 210'dur.
Verilen eşitliklerden ardışık terimlerin toplam özellikleri kullanılarak yedinci terim 27, beşinci terim ise 19 olarak hesaplanır. Bu iki terim arasındaki farktan ortak fark 4, ardından ilk terim 3 olarak bulunur. Elde edilen bu değerler ilk n terim toplamı formülünde yerine yazılarak ilk 10 terimin toplamı 210 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık terimlerin toplamı farkından yararlanarak yedinci terimi bulma.
S8−S5=a6+a7+a8=3a7=81⇒a7=27S_8 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 = 3a_7 = 81 \Rightarrow a_7 = 27 olur.
İlk 8 terimin toplamından ilk 5 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 6., 7. ve 8. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan yedinci terimin 3 katına eşittir.
2
Benzer şekilde ardışık terimlerin toplamı farkından beşinci terimi bulma.
S6−S3=a4+a5+a6=3a5=57⇒a5=19S_6 - S_3 = a_4 + a_5 + a_6 = 3a_5 = 57 \Rightarrow a_5 = 19 olur.
İlk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan beşinci terimin 3 katına eşittir.
3
Dizinin ortak farkını hesaplama.
a7=a5+2d⇒27=19+2d⇒2d=8⇒d=4a_7 = a_5 + 2d \Rightarrow 27 = 19 + 2d \Rightarrow 2d = 8 \Rightarrow d = 4 bulunur.
Dizinin yedinci terimi ile beşinci terimi arasındaki fark, ortak farkın 2 katına eşittir.
4
Dizinin ilk terimini bulma.
a5=a1+4d⇒19=a1+4(4)⇒a1=3a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 19 = a_1 + 4(4) \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Dizinin beşinci terimi ve ortak farkı bilindiğinden genel terim tanımından yararlanılarak ilk terim hesaplanır.
5
İlk 10 terim toplamını hesaplama.
S10=102(2a1+9d)=5(2(3)+9(4))=5(6+36)=210S_{10} = \frac{10}{2} (2a_1 + 9d) = 5 (2(3) + 9(4)) = 5(6 + 36) = 210 bulunur.
Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesinde elde edilen değerler yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı ve terimler arasındaki indis ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru