Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2+y2−4x−6y=3x2−4x−y=−3\begin{aligned} x^2 + y^2 - 4x - 6y &= 3 \\ x^2 - 4x - y &= -3 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarının toplamı kaçtır?

Cevap: 22

Cevap

Denklem sistemini sağlayan tüm gerçek sayı ikililerinin bileşenleri çarpımının toplamı 22'dir.
Denklem sistemi çözüldüğünde elde edilen üç gerçek sayı ikilisinin bileşenleri çarpımları sırasıyla 6x16x_1, 6x26x_2 ve −2-2'dir. Burada x1x_1 ve x2x_2 değerleri x2−4x−3=0x^2 - 4x - 3 = 0 denkleminin kökleri olup toplamları Vieta formülüne göre 44'tür. Dolayısıyla çarpımların toplamı 6(x1+x2)−2=6(4)−2=226(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemden x2−4xx^2 - 4x ifadesini yy cinsinden çekin.
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3
Birinci denklemde ortak olan x2−4xx^2 - 4x teriminin yerine yazarak değişken sayısını teke düşürmek için.
2
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 ifadesini birinci denklemde yerine yazın ve denklemi düzenleyin.
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0
yy değişkenine bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde etmek için.
3
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak yy değerlerini bulun.
y1=6y_1 = 6 ve y2=−1y_2 = -1
Denklem sistemini sağlayan yy koordinatlarını belirlemek için.
4
Bulunan yy değerlerini x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 eşitliğinde yerine yazarak her bir duruma karşılık gelen xx değerlerini veya bu değerlerin ilişkisini bulun.
y=6  ⟹  x2−4x−3=0y = 6 \implies x^2 - 4x - 3 = 0 (kökler x1x_1 ve x2x_2 olup x1+x2=4x_1+x_2 = 4); y=−1  ⟹  x2−4x+4=0  ⟹  x3=2y = -1 \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x_3 = 2
Çözüm kümesindeki gerçek sayı ikililerinin xx bileşenlerini belirlemek veya kökler toplamı ilişkisini kullanmak için.
5
Elde edilen (x,y)(x, y) ikililerinin çarpımlarının toplamını hesaplayın.
x1⋅6+x2⋅6+2⋅(−1)=6(x1+x2)−2=6(4)−2=22x_1 \cdot 6 + x_2 \cdot 6 + 2 \cdot (-1) = 6(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22
Soruda istenen çarpımların toplamı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme ve yerine koyma metotları ile Vieta formüllerinin (kökler toplamı) birlikte uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri