Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, x=y2−2yx = y^2 - 2y eğrisi, yy-ekseni, y=−1y = -1 ve y=3y = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    43\frac{4}{3}
  2. B
    83\frac{8}{3}
  3. C
    103\frac{10}{3}
  4. 4Cevap
  5. E
    163\frac{16}{3}

Cevap

4
İntegral sınırları eğrinin y-eksenini kestiği noktalara göre parçalandığında [−1,0][-1, 0], [0,2][0, 2] ve [2,3][2, 3] aralıkları elde edilir. Bu aralıklarda eğrinin y-ekseninin sağında ve solunda kalma durumuna göre integral değerlerinin mutlak değerleri toplanarak alan 44 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrinin y-eksenini kestiği noktaları bulmak için x=0x = 0 eşitliği kurulur.
Kesim noktaları y=0y = 0 ve y=2y = 2 olarak elde edilir.
Eğrinin y-ekseninin sağında ve solunda kalan bölgelerini belirlemek için kesim noktaları (kökler) bulunmalıdır.
2
İstenen alan [−1,3][-1, 3] aralığında olduğundan, kökler yardımıyla integral üç alt aralığa parçalanır: [−1,0][-1, 0], [0,2][0, 2] ve [2,3][2, 3]. Bu aralıklarda xx değerlerinin işaretleri incelenir.
y∈[−1,0]y \in [-1, 0] için x≥0x \ge 0, y∈[0,2]y \in [0, 2] için x≤0x \le 0 ve y∈[2,3]y \in [2, 3] için x≥0x \ge 0 olur.
Belirli integral ile alan hesabında, y-ekseninin solunda kalan bölgelerin integral değerleri negatif olduğundan alan hesabı için mutlak değerleri alınmalıdır.
3
Belirlenen aralıklarda integral hesabı yapılır. Fonksiyonun ilkel fonksiyonu F(y)=y33−y2F(y) = \frac{y^3}{3} - y^2 şeklindedir. Sınırlar yerine yazılır.
F(0)=0F(0) = 0, F(−1)=−43F(-1) = -\frac{4}{3}, F(2)=−43F(2) = -\frac{4}{3} ve F(3)=0F(3) = 0 değerleri elde edilir.
Belirli integral değerlerini bulmak için Newton-Leibniz teoremi uygulanır.
4
Her bir bölgenin alanı mutlak değerce toplanır.
Sınırlı alanlar: A1=F(0)−F(−1)=43A_1 = F(0) - F(-1) = \frac{4}{3}, A2=∣F(2)−F(0)∣=43A_2 = |F(2) - F(0)| = \frac{4}{3}, A3=F(3)−F(2)=43A_3 = F(3) - F(2) = \frac{4}{3} birimkaredir. Toplam alan A1+A2+A3=4A_1 + A_2 + A_3 = 4 birimkare bulunur.
Ayrı ayrı hesaplanan alan değerlerinin toplamı tüm sınırlı bölgenin alanını verir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla y-eksenine göre alan hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru