Dik koordinat düzleminde, f(x) = x^2 - 2x parabolü, bu parabolün x = 3 noktasındaki teğet … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 2x$ parabolü, bu parabolün $x = 3$ noktasındaki teğet doğrusu ve $y$ -ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A
$\frac{103}{12}$
B
$\frac{26}{3}$
$9$ Cevap
D
$18$
E
$27$

Cevap

Parabolün verilen noktadaki teğet doğrusu ile parabolün kendisi ve

y

-ekseni arasında kalan bölgenin alanı

9

birimkaredir.

Parabolün

x = 3

noktasındaki teğetinin denklemi

y = 4x - 9

olarak bulunur. Sınırlar

x = 0

(

y

-ekseni) ile teğet noktası olan

x = 3

arasındadır. Bu aralıkta parabol her zaman teğet doğrusunun üstünde kaldığı için sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integral yardımıyla

9

birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla bulma

y = 4x - 9

teğet doğrusu denklemi

f(x) = x^2 - 2x

için teğet noktasının apsisi

x=3

olup ordinatı

f(3) = 3

olur. Türev

f'(x) = 2x - 2

olup teğet eğimi

m = f'(3) = 4

olarak elde edilir. Buradan teğet denklemi

y - 3 = 4(x - 3) \implies y = 4x - 9

bulunur.

Sınırları ve integrali alınacak fark fonksiyonunu belirleme

Sınırlar

[0, 3]

ve integral fonksiyonu

g(x) = x^2 - 6x + 9

Teğet noktası

x=3

y

-ekseni

x=0

olduğundan integral sınırları

[0, 3]

aralığıdır. Bu aral��kta parabol doğrunun üzerinde yer aldığından alan

\int_{0}^{3} ((x^2 - 2x) - (4x - 9)) dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx

integrali ile hesaplanır.

Belirli integrali hesaplama

9

birimkare

\int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9

elde edilir.

Anahtar Kavram

İki fonksiyon grafiği ve düşey doğrular arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru