Dik koordinat düzleminde, y = \sqrt{x} eğrisi, y-ekseni, y = 1 ve y = 3 doğruları arasında… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $y = \sqrt{x}$ eğrisi, $y$ -ekseni, $y = 1$ ve $y = 3$ doğruları arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Boyalı bölgenin alanı

\frac{26}{3}

birimkaredir.

Verilen bölge

y

-eksenine dayalı olduğundan, eğri denklemi

x = y^2

olarak yazılır ve

y=1

ile

y=3

sınırları arasında integral hesaplandığında

\frac{26}{3}

sonucuna ulaşılır.

Verilen

y = \sqrt{x}

ifadesini

y

-eksenine göre integral alabilmek için

x

değişkeni cinsinden ifade edelim.

x = y^2

elde edilir.

Alan y-ekseniyle sınırlandırıldığı için integralin

y

değişkenine göre kurulması kolaylık sağlar.

Alanı belirten belirli integrali sınırlar

y = 1

y = 3

olacak şekilde kuralım.

Alan = \int_{1}^{3} y^2 \, dy

Belirli integral ile y-ekseni arasında kalan alan

\int_{c}^{d} g(y) \, dy

formülüyle hesaplanır.

Belirli integrali hesaplayalım.

\int_{1}^{3} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}

İntegral alma kuralları uygulanarak üst sınırdan alt sınır çıkarılır.

Bir eğrinin y-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Alanı x-eksenine göre iki bölgenin farkı olarak da bulabiliriz:

y=3

doğrusu, y-ekseni ve

y=\sqrt{x}

eğrisi arasında kalan dikdörtgenin alanından (

3 \times 9 = 27

), alttaki boşlukları (

1 \times 1 = 1

büyüklüğünde kare ve

\int_{1}^{9} \sqrt{x} \, dx = \frac{52}{3}

alanı) çıkararak:

27 - 1 - \frac{52}{3} = 26 - \frac{52}{3} = \frac{26}{3}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru