Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı
f:[0,4]→R,f(x)=x2−4x+6f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonu veriliyor. [0,4][0, 4] kapalı aralığı, her birinin uzunluğu 11 birim olan 44 eş alt aralığa bölünüyor. Buna göre, bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı kaçtır?
  1. A
    8
  2. B
    12
  3. 10Cevap
  4. D
    14
  5. E
    16

Cevap

Riemann alt toplamı 10 olarak bulunur.
Riemann alt toplamı, her bir alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerlerin, alt aralık genişliğiyle çarpılıp toplanmasıyla bulunur. Parabolün tepe noktası x=2x=2 apsisli noktada olup fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aralığında ise artandır. Bu nedenle [0,1][0, 1] aralığındaki en küçük değer f(1)=3f(1)=3, [1,2][1, 2] aralığındaki en küçük değer f(2)=2f(2)=2, [2,3][2, 3] aralığındaki en küçük değer f(2)=2f(2)=2 ve [3,4][3, 4] aralığındaki en küçük değer f(3)=3f(3)=3 olur. Genişlik 11 birim olduğundan bu minimum değerlerin toplamı 3+2+2+3=103+2+2+3=10 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkları ve aralık genişliğini belirleme
[0,4][0, 4] aralığı 4 eş parçaya bölündüğünde alt aralık genişliği Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1 olur. Alt aralıklar sırasıyla [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3] ve [3,4][3, 4] şeklindedir.
Riemann toplamını oluşturacak dikdörtgenlerin taban uzunluğunu bulmak için aralık bölünür.
2
Her alt aralıktaki minimum fonksiyon değerlerini belirleme
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 olduğundan, fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aral��ğında ise artandır. Buna göre her alt aralıktaki minimum değerler:
- [0,1][0, 1] aralığında en küçük değer sağ uçta: f(1)=12−4(1)+6=3f(1) = 1^2 - 4(1) + 6 = 3
- [1,2][1, 2] aralığında en kü��ük değer sağ uçta: f(2)=22−4(2)+6=2f(2) = 2^2 - 4(2) + 6 = 2
- [2,3][2, 3] aralığında en küçük değer sol uçta: f(2)=2f(2) = 2
- [3,4][3, 4] aralığında en küçük değer sol uçta: f(3)=32−4(3)+6=3f(3) = 3^2 - 4(3) + 6 = 3 olur.
Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerler (yükseklikler) seçilmelidir.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
Riemann alt toplamı A=Δx⋅[f(1)+f(2)+f(2)+f(3)]=1⋅[3+2+2+3]=10A = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [3 + 2 + 2 + 3] = 10 elde edilir.
Belirlenen yükseklikler ile taban genişliği çarpılarak alanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili alt aralıklardaki minimum değerleri kullanıl��r. Fonksiyonun monoton olmadığı durumlarda minimum değerlerin hangi noktalarda gerçekleştiği, fonksiyonun tepe noktası ve artan/azalanlık aralıkları incelenerek bulunmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru