Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Grafik, xx-eksenini x=−3x = -3 ve x=4x = 4 noktalarında kesmektedir.
* Grafik, x=1x = 1 noktasında xx-eksenine teğettir.
* x∈(−∞,−3)∪(4,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−3,1)∪(1,4)x \in (-3, 1) \cup (1, 4) için f′(x)>0f'(x) > 0 dır.

Buna göre,

I. ff fonksiyonu [−3,4][-3, 4] aralığında artandır.
II. g(x)=f(2−x)g(x) = f(2-x) fonksiyonu [3,5][3, 5] aralığında artandır.
III. h(x)=f(x2)h(x) = f(x^2) fonksiyonu (0,2)(0, 2) aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III
Doğru seçenek I ve III. öncüllerin doğru olduğunu belirtmektedir. ff fonksiyonunun türevi [−3,4][-3, 4] aralığında (sadece x=1x=1 noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerli olduğundan ff bu aralıkta artandır. h(x)=f(x2)h(x) = f(x^2) fonksiyonunun türevi h′(x)=2x⋅f′(x2)h'(x) = 2x \cdot f'(x^2) olup, (0,2)(0, 2) aralığındaki tüm xx değerleri için bu türev pozitif olduğundan hh fonksiyonu da bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin işaret tablosunu oluşturarak birinci öncülü değerlendirme
f′(x)f'(x) fonksiyonu [−3,4][-3, 4] aralığında (yalnızca x=1x=1 noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerlidir.
Bir fonksiyonun türevi bir aralıkta sıfırdan büyük veya eşitse ve türevi sıfır yapan noktalar ayrık ise fonksiyon o aralıkta strictly artandır. Dolayısıyla birinci ��ncül doğrudur.
2
İkinci öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme
g′(x)=−f′(2−x)g'(x) = -f'(2-x) olur. x∈[3,5]x \in [3, 5] için 2−x∈[−3,−1]2-x \in [-3, -1] aralığındadır. Bu aralıkta f′(2−x)≥0f'(2-x) \ge 0 olduğundan g′(x)≤0g'(x) \le 0 elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken içteki 2−x2-x ifadesinin türevi olan −1-1 çarpanı gelir. g′(x)≤0g'(x) \le 0 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonu bu aralıkta azalandır, dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
3
Üçüncü öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme
h′(x)=2x⋅f′(x2)h'(x) = 2x \cdot f'(x^2) olur. x∈(0,2)x \in (0, 2) için 2x>02x > 0 ve x2∈(0,4)x^2 \in (0, 4) aralığındadır. Bu aralıkta f′(x2)≥0f'(x^2) \ge 0 olduğundan h′(x)≥0h'(x) \ge 0 elde edilir.
x∈(0,2)x \in (0, 2) aralığında türev pozitif (sadece x=1x=1 noktasında sıfır) olduğundan h(x)h(x) bu aralıkta artandır, dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve bileşke fonksiyonların türevi

Alternatif Yöntem

Öncüller incelenirken uzun uzun işaret tablosu çizmek yerine, türevin grafik üzerindeki pozitif ve negatif olduğu bölgeler zihinden takip edilebilir. Örneğin g(x)=f(2−x)g(x) = f(2-x) için xx değerleri 33 ile 55 arasında artarken, 2−x2-x değerleri −1-1 ile −3-3 arasında azalır. Bu aralıkta f′f' pozitif olduğundan, ff fonksiyonu azalan yönde hareket eder. Dolayısıyla gg fonksiyonu azalandır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru