Examkin

Soru

Zorluk: ZorYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x+a,x≤3−x2+bx−5,x>3f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + a, & x \le 3 \\ -x^2 + bx - 5, & x > 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında bir yerel maksimumu olduğu bilindiğine göre, aa tam sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Cevap
  4. D
    8
  5. E
    9

Cevap

7
Fonksiyonun gerçel sayılar üzerinde sürekli olması sebebiyle x=3x = 3 noktasındaki sol ve sağ limitler birbirine eşit olmalıdır. Buradan a=3b−11a = 3b - 11 ilişkisi elde edilir. x=3x = 3 noktasının bir yerel maksimum noktası olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan olması gerekir. Sol tarafta (x<3x < 3 için) türev f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olup x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında pozitif olduğundan fonksiyon artandır. Sağ tarafta ise (x>3x > 3 için) fonksiyonun azalan olması için türevi olan f′(x)=−2x+b≤0f'(x) = -2x + b \le 0 şartı sağlanmalıdır. Buradan b≤2xb \le 2x ve x→3+x \to 3^+ için b≤6b \le 6 bulunur. Bu sınır değeri a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde yerine yazıldığında a≤7a \le 7 elde edilir. Dolayısıyla aa tam sayısının alabileceği en büyük değer 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik şartını uygulayarak a ve b değişkenleri arasındaki ilişkiyi bulma
a−3=3b−14  ⟹  a=3b−11a - 3 = 3b - 14 \implies a = 3b - 11
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
2
x<3x < 3 için fonksiyonun artış/azalış durumunu inceleme
x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında f′(x)=2x−4>0f'(x) = 2x - 4 > 0 olduğundan fonksiyon artandır.
x=3x = 3 noktasının yerel maksimum olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan (veya sabit) olması gerekir. Sol taraftaki türev incelendiğinde x=3x = 3 noktasına yaklaşırken fonksiyonun artan olduğu görülür.
3
x>3x > 3 için yerel maksimum şartını kullanarak b değerine sınır getirme
b≤6b \le 6
x>3x > 3 için f′(x)=−2x+bf'(x) = -2x + b olur. x=3x=3'ün yerel maksimum olması için x>3x > 3 bölgesinde (3'ün sağ komşuluğunda) fonksiyonun azalan olması, yani f′(x)≤0f'(x) \le 0 olması gerekir. Buradan −2x+b≤0  ⟹  b≤2x-2x + b \le 0 \implies b \le 2x olur. x→3+x \to 3^+ limiti için bu şartın sağlanması b≤6b \le 6 olmasını gerektirir.
4
Elde edilen sınır değerini a'nın ifadesinde yerine yazarak en büyük tam sayı değerini bulma
a≤7a \le 7 olup, en büyük aa tam sayısı 7'dir.
a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde b≤6b \le 6 sınırını kullanırsak a≤3(6)−11=7a \le 3(6) - 11 = 7 elde ederiz.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik şartı ile türevin işaret değişimine göre yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru