Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları
Her mm gerçel sayısı için,
f(x)=x2−2mx+m2+4m+5f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + 4m + 5
fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değeri g(m)g(m) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, g(m)g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. 1Cevap
  2. B
    5
  3. C
    9
  4. D
    13
  5. E
    17

Cevap

g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1'dir.
Doğru yanıt olan değer, m<0m < 0 durumu incelendiğinde elde edilir. Bu durumda f(x)f(x) fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değeri x=0x = 0 noktasında gerçekleşir ve g(m)=m2+4m+5g(m) = m^2 + 4m + 5 olur. Bu ifadenin de en küçük değeri tepe noktası olan m=−2m = -2 değerinde 11 olarak hesaplanır. Diğer bölgelerdeki en küçük değerler sırasıyla 55 ve 1313 olduğundan genel en küçük değer 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x)f(x) fonksiyonunu tam kareye tamamlayarak tepe noktasını belirleyin.
f(x)=(x−m)2+4m+5f(x) = (x - m)^2 + 4m + 5 elde edilir. Parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasının apsisi r=mr = m'dir.
Kolları yukarı doğru olan bir parabolün artan ve azalan olduğu aralıklar tepe noktasının apsisine (rr) göre belirlenir.
2
Tepe noktası apsisi olan mm'nin [0,2][0, 2] aralığına göre konumunu üç farklı durumda inceleyerek g(m)g(m) parçalı fonksiyonunu oluşturun.
g(m)g(m) fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:
- m<0m < 0 ise, parabol [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değerini x=0x = 0 noktasında alır: g(m)=f(0)=m2+4m+5g(m) = f(0) = m^2 + 4m + 5
- 0≤m≤20 \le m \le 2 ise, tepe noktası aralık içindedir. Minimum değer tepe noktasında oluşur: g(m)=f(m)=4m+5g(m) = f(m) = 4m + 5
- m>2m > 2 ise, parabol [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değerini x=2x = 2 noktasında alır: g(m)=f(2)=m2+9g(m) = f(2) = m^2 + 9
Parabolün kapalı bir aralıktaki en küçük değeri, tepe noktası aralığın içindeyse tepe noktasında, dışındaysa aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
3
Elde edilen g(m)g(m) parçalı fonksiyonunun her bir bölgedeki en küçük değerlerini hesaplayın.
- m<0m < 0 bölgesi için: g(m)=m2+4m+5g(m) = m^2 + 4m + 5 parabolünün tepe noktası m=−2m = -2 noktasındadır ve bu bölgeye dahildir. Minimum değer g(−2)=1g(-2) = 1 olur.
- 0≤m≤20 \le m \le 2 bölgesi için: g(m)=4m+5g(m) = 4m + 5 doğrusal fonksiyonunun minimum değeri m=0m = 0 için 55 olur.
- m>2m > 2 bölgesi için: g(m)=m2+9g(m) = m^2 + 9 parabolünün tepe noktası m=0m = 0 olup bu bölgeye dahil değildir. m>2m > 2 için fonksiyon artandır ve en küçük değerini sınırda 1313'e yaklaşırken alır.
Parçalı tanımlı bir fonksiyonun küresel minimumunu bulmak için her bir parçanın kendi tanım aralığındaki en küçük değerleri karşılaştırılır.
4
Bölgelerden elde edilen en küçük değerleri karşılaştırarak genel minimumu bulun.
Bulunan minimum değerler sırasıyla 11, 55 ve 1313'tür. Bunlar arasındaki en küçük değer 11'dir.
g(m)g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer tüm gerçel sayılar kümesindeki en küçük çıktıdır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerinin tepe noktasının aralığa göre konumuna bağlı olarak bulunması
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru