Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir firmanın ürettiği bir ürünün adet satış fiyatı xx TL iken, günlük satılan ürün miktarı 120−2x120 - 2x adettir. Bu ürünün bir adedinin üretim maliyeti sabit ve 2020 TL'dir. Buna göre, bu ürünün satışından elde edilebilecek günlük kâr en fazla kaç TL olur?

  1. A
    600
  2. B
    720
  3. 800Cevap
  4. D
    1000
  5. E
    1800

Cevap

Maksimum günlük kâr 800 TL'dir.
Maksimum kâr, kâr fonksiyonunun tepe noktasının ordinatıdır. Kâr fonksiyonu K(x)=−2x2+160x−2400K(x) = -2x^2 + 160x - 2400 şeklinde yazılıp tepe noktasının apsisi r=40r = 40 olarak bulunduktan sonra fonksiyonda yerine yazıldığında 800 TL elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Günlük kâr fonksiyonunu oluşturma.
K(x)=(x−20)(120−2x)=−2x2+160x−2400K(x) = (x - 20)(120 - 2x) = -2x^2 + 160x - 2400
Bir adet ürünün kârı, satış fiyatı (xx) ile maliyet fiyatının (2020) farkıdır. Günlük toplam kâr ise birim kâr ile satılan ürün miktarının (120−2x120 - 2x) çarpımıyla hesaplanır.
2
Kâr fonksiyonunu maksimum yapan satış fiyatını bulmak için tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
r=−1602(−2)=40r = -\frac{160}{2(-2)} = 40 TL
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün baş katsayısı negatif (a=−2<0a = -2 < 0) olduğundan, fonksiyon en büyük değerini tepe noktasının apsisi olan r=−b2ar = -\frac{b}{2a} değerinde alır.
3
Maksimum kâr miktarını bulmak için elde edilen apsis değerini kâr fonksiyonunda yerine yazma.
K(40)=(40−20)(120−2⋅40)=20⋅40=800K(40) = (40 - 20)(120 - 2 \cdot 40) = 20 \cdot 40 = 800 TL
Parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinat değeri olan k=f(r)k = f(r) ile bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası yardımıyla en büyük ve en küçük değer (optimizasyon) problemlerinin çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru