Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Analitik düzlemde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun grafiği olan parabol üzerindeki bir noktanın, A(2,32)A\left(2, \frac{3}{2}\right) noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

Cevap: 1.5 birim

Cevap

Parabol üzerindeki bir noktanın belirtilen noktaya uzaklığı en az 1,5 birimdir.
Parabol üzerindeki genel bir noktanın koordinatları arasındaki bağıntı kullanılarak yazılan uzaklık fonksiyonu g(y)=y2−2y+3,25g(y) = y^2 - 2y + 3,25 şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyona dönüşür. Bu fonksiyonun tepe noktası y=1y=1 değerindedir ve parabolün alabileceği y≥−1y \ge -1 değerleri aralığındadır. Dolayısıyla, en küçük uzaklık y=1y=1 için hesaplanan 1,51,5 birim değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel noktanın koordinatları arasındaki ilişkiyi belirlemek.
y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 denklesinden (x−2)2=y+1(x-2)^2 = y+1 elde edilir. Parabolün en küçük y değeri −1-1 olduğundan y≥−1y \ge -1 olmalıdır.
Uzaklık formülünü tek değişkene indirgemek için iki koordinat arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Uzaklık karesi denklemini kurmak.
d2=(x−2)2+(y−1,5)2=y+1+y2−3y+2,25=y2−2y+3,25d^2 = (x-2)^2 + (y - 1,5)^2 = y + 1 + y^2 - 3y + 2,25 = y^2 - 2y + 3,25
xx değişkenini yok ederek uzaklık ifadesini yy değişkenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak yazmak.
3
Elde edilen ikinci dereceden fonksiyonun en küçük değerini tepe noktası yardımıyla bulmak.
y=1y = 1 için d2=2,25d^2 = 2,25 minimum değerini alır.
y2−2y+3,25y^2 - 2y + 3,25 parabolik fonksiyonunun tepe noktası y=1y = 1 konumundadır ve bu değer y≥−1y \ge -1 tanım kümesine dahildir.
4
Kareköklü ifadeyi hesaplayarak en kısa uzaklığı bulmak.
d=2,25=1,5d = \sqrt{2,25} = 1,5 birim.
Uzaklığın karesinden uzaklığın kendisine geçiş yapmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) sınırlı bir aralıkta alabileceği en büyük veya en küçük değeri, tepe noktasının konumu ve sınır değerleri incelenerek bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru