Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir çiftçi, düz bir nehir kıyısında bulunan arazisine, nehir tarafında çit kullanmamak şartıyla dikdörtgen şeklinde bir kümes yapacaktır. Kümesin nehirden uzak olan üç kenarını çevirmek için toplam 4040 metre çit kullanacaktır.

Belediye imar kuralları gereği, kümesin nehre dik olan yan kenar uzunluğu en az 1212 metre, en fazla 1818 metre olmalıdır.

Buna göre, bu kümesin alanının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç metrekaredir?

  1. A
    128
  2. 120Cevap
  3. C
    60
  4. D
    192
  5. E
    8

Cevap

Kümesin alanının alabileceği en büyük değer ile en küç��k değer arasındaki fark 120 metrekaredir.
Doğru cevap 120 metrekaredir. Kümesin alanını temsil eden A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x fonksiyonu, kolları aşağı doğru olan bir paraboldür ve tepe noktası x=10x = 10 apsisli noktadadır. Tanım kümesi olan [12,18][12, 18] aralığı tepe noktasının sağında kaldığı için fonksiyon bu aralıkta tamamen azalandır. Bu sebeple en büyük değer aralığın sol ucunda (x=12x = 12 için 192), en küçük değer ise aralığın sağ ucunda (x=18x = 18 için 72) gerçekleşir. Aralarındaki fark 192−72=120192 - 72 = 120 metrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümesin nehre dik olan yan kenar uzunluğu xx metre olarak belirlenir. Bu durumda nehre paralel olan diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Kenar uzunlukları xx ve 40−2x40 - 2x olarak ifade edilir.
Alanı tek bir değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Kümesin alan fonksiyonu A(x)=x⋅(40−2x)=−2x2+40xA(x) = x \cdot (40 - 2x) = -2x^2 + 40x olarak kurulur.
A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x fonksiyonu elde edilir.
Alanın değişimini incelemek ve en büyük/en küçük değerleri bulmak için.
3
Elde edilen parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır.
r=−402(−2)=10r = -\frac{40}{2(-2)} = 10 olarak bulunur.
Parabolün maksimum değerini aldığı noktayı belirlemek için.
4
İmar kuralı gereği xx değişkeninin tanım kümesi [12,18][12, 18] olarak belirlenmiştir. Tepe noktasının apsisi (r=10r = 10) bu aralığın solunda kalır. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan (a=−2<0a = -2 < 0), fonksiyon [10,∞)[10, \infty) aralığında azalandır. Dolayısıyla [12,18][12, 18] aralığında da azalan bir fonksiyondur.
Fonksiyon [12,18][12, 18] aralığında azalandır.
En büyük ve en küçük değerlerin hangi sınırlarda oluşacağını belirlemek için.
5
En büyük alan değeri aralığın sol sınırında (x=12x = 12), en küçük alan değeri ise sağ sınırında (x=18x = 18) oluşur. Bu değerler hesaplanır.
En büyük alan: A(12)=192 m2A(12) = 192\text{ m}^2, en küçük alan: A(18)=72 m2A(18) = 72\text{ m}^2 olarak bulunur.
Sınır değerlerindeki alan büyüklüklerini elde etmek için.
6
Bulunan en büyük ve en küçük alan değerleri arasındaki fark hesaplanır.
192−72=120 m2192 - 72 = 120\text{ m}^2 olarak bulunur.
Soruda istenen farkı bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri bulunurken tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Tepe noktası aralık dışındaysa uç değerler incelenir.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru