Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAritmetik Dizi ve Özellikleri

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3⋅a19−a6⋅a16=−39a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = -39

ve

a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
Verilen iki denklem çözüldüğünde ortak farkın karesi r2=1r^2 = 1 olarak bulunur. İkinci denklemden a1+10r=12a_1 + 10r = 12 bağıntısı elde edilir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif kalabilmesi için ortak farkın negatif olmaması (r=1r = 1) gerekir, çünkü negatif bir ortak fark diziyi bir noktadan sonra negatif terimli yapacaktır. r=1r = 1 için a1=2a_1 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ortak fark rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazalım.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a19=a1+18ra_{19} = a_1 + 18r, a6=a1+5ra_6 = a_1 + 5r ve a16=a1+15ra_{16} = a_1 + 15r olur.
Verilen çarpımları tek bir bilinmeyenli terimler cinsinden ifade etmek.
2
Çarpımların farkını hesaplayalım.
a3⋅a19−a6⋅a16=(a12+20a1r+36r2)−(a12+20a1r+75r2)=−39r2a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = (a_1^2 + 20a_1r + 36r^2) - (a_1^2 + 20a_1r + 75r^2) = -39r^2 elde edilir.
Ortak farkın karesini bulmak için cebirsel sadeleştirme yapmak.
3
Elde edilen farkı verilen −39-39 değerine eşitleyelim.
−39r2=−39  ⟹  r2=1  ⟹  r=1-39r^2 = -39 \implies r^2 = 1 \implies r = 1 veya r=−1r = -1 bulunur.
Dizinin ortak farkının alabileceği değerleri belirlemek.
4
a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile rr arasındaki ilişkiyi bulalım.
(a1+r)+(a1+19r)=24  ⟹  2a1+20r=24  ⟹  a1+10r=12(a_1 + r) + (a_1 + 19r) = 24 \implies 2a_1 + 20r = 24 \implies a_1 + 10r = 12 elde edilir.
İlk terim ile ortak farkı ilişkilendiren doğrusal denklemi kurmak.
5
Dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılar olma koşulunu iki rr durumu için inceleyelim.
Eğer r=−1r = -1 ise a1=22a_1 = 22 olur ancak bu durumda a23=22+22(−1)=0a_{23} = 22 + 22(-1) = 0 ve sonraki terimler negatif olur. Eğer r=1r = 1 ise a1=2a_1 = 2 olur ve tüm terimler (an=n+1a_n = n+1) pozitif kalır. Dolayısıyla a1=2a_1 = 2 olmalıdır.
Sonsuz elemanlı dizinin tüm terimlerinin pozitif olmasını sağlayan geçerli ilk terim değerini seçmek.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri ve tüm terimlerinin pozitif olma koşulunun ortak farkın işaretine etkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru