\begin{aligned} x^2 + 3xy + y^2 &= 11 \\ x - y &= 1 \end{aligned} denklem sistemini sağlay… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\begin{aligned} x^2 + 3xy + y^2 &= 11 \\ x - y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için $x^2 + y^2$ toplamı kaçtır?

Cevap: 5

Sistemi sağlayan tüm gerçel sayı ikilileri için

x^2 + y^2

toplamının değeri 5'tir.

Denklem sisteminde birinci denklem

(x-y)^2 + 5xy = 11

şeklinde yazılıp

x-y=1

eşitliği yerine konduğunda

xy=2

bulunur. İstenen

x^2+y^2

toplamı ise

(x-y)^2 + 2xy

ifadesine eşit olup

1^2 + 2(2) = 5

olarak elde edilir.

Birinci denklemdeki ifadeyi iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanacak şekilde düzenlemek.

x^2 + 3xy + y^2 = (x - y)^2 + 5xy = 11

Sistemde verilen

x-y

ifadesini doğrudan kullanabilmek.

x - y = 1

değerini yerine yazarak

xy

çarpımını hesaplamak.

1 + 5xy = 11 \implies xy = 2

Bilinmeyenlerin çarpım değerini elde etmek.

x^2 + y^2

toplamını elde etmek için farkın karesi açılımını uygulamak.

x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 1^2 + 2(2) = 5

İstenen hedef ifadeyi hesaplamak.

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin cebirsel özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.

Soru