Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5)
olarak verilmektedir.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [−1,5][-1, 5]
  2. B
    [2,2+6)∪(2+6,5][2, 2+\sqrt{6}) \cup (2+\sqrt{6}, 5]
  3. [2,5][2, 5]Cevap
  4. D
    [2−6,2]∪[2+6,5][2 - \sqrt{6}, 2] \cup [2 + \sqrt{6}, 5]
  5. E
    [−1,2][-1, 2]

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] aralığıdır.
Zincir kuralı doğru uygulanıp çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo yapıldığında, türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak yazın.
g′(x)=f′(x2−4x)⋅(2x−4)g'(x) = f'(x^2 - 4x) \cdot (2x - 4)
Türevde zincir kuralı gereği dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5) ifadesinde xx yerine x2−4xx^2 - 4x yazarak f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesini elde edin.
f′(x2−4x)=(x2−4x−2)2(x2−4x−5)f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5)
Bileşke fonksiyonun dıştaki bileşeninin türevine içteki fonksiyon yerleştirilir.
3
g′(x)=2(x−2)(x2−4x−2)2(x2−4x−5)g'(x) = 2(x - 2)(x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5) ifadesinin köklerini bulun.
x=−1x = -1 (tek katlı kök), x=2−6x = 2-\sqrt{6} (çift katlı kök), x=2x = 2 (tek katlı kök), x=2+6x = 2+\sqrt{6} (çift katlı kök) ve x=5x = 5 (tek katlı kök).
Türevin işaret tablosunu oluşturmak için tüm kökler ve katları belirlenir.
4
Elde edilen kökler yardımıyla g′(x)g'(x)'in işaret tablosunu oluşturun ve g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olan aralıkları belirleyin.
x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1] ve x∈[2,5]x \in [2, 5] aralıklarında g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olur. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralıklar (−∞,−1](-\infty, -1] ve [2,5][2, 5] olarak bulunur.
Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo oluşturulduğunda türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler sürekli fonksiyonun azalanlık aralığını verir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bileşke fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve çift katlı kök içeren eşitsizliklerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru