Examkin

Soru

Zorluk: ZorRiemann Toplamı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20
fonksiyonunun [2,8][2, 8] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann üst toplamı UnU_n ve Riemann alt toplamı LnL_n hesaplanıyor.
Buna göre,
Un−Ln<3U_n - L_n < 3
eşitsizliğini sağlayan en küçük nn doğal sayısı kaçtır?
  1. A
    33
  2. B
    96
  3. 97Cevap
  4. D
    129
  5. E
    337

Cevap

97
Fonksiyonun tepe noktası apsisi 99 olduğundan, [2,8][2, 8] kapalı aralığında fonksiyon sürekli ve artandır. Artan bir fonksiyonun nn eş alt aralığa göre Riemann üst ve alt toplamlarının farkı Un−Ln=b−an(f(b)−f(a))U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(b) - f(a)) formülü ile hesaplanır. Buradan 6n(100−52)=288n<3\frac{6}{n}(100 - 52) = \frac{288}{n} < 3 eşitsizliği elde edilir ve n>96n > 96 koşulundan en küçük doğal sayı değeri 97 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parabolün tepe noktasını bulup [2,8][2, 8] aralığındaki artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20 fonksiyonunun tepe noktası apsisi r=−182(−1)=9r = -\frac{18}{2(-1)} = 9 olarak bulunur. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan, fonksiyon (−∞,9](-\infty, 9] aralığında artandır. Bu nedenle, [2,8][2, 8] aralığında da sürekli ve kesin artandır.
Riemann alt ve üst toplamlarının hangi uç değerlerde hesaplanacağını belirlemek için fonksiyonun bu aralıkta artan mı azalan mı olduğunu saptamak gerekir.
2
Riemann üst toplamı (UnU_n) ile Riemann alt toplamı (LnL_n) arasındaki farkı veren genel formülü oluşturun.
ff fonksiyonu [2,8][2, 8] aralığında artan olduğundan, her bir eş alt aralıkta Riemann üst toplamı için aralığın sağ ucu, alt toplam�� için ise sol ucu kullanılır. Alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olmak üzere, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark: Un−Ln=Δx⋅(f(8)−f(2))U_n - L_n = \Delta x \cdot (f(8) - f(2)) olarak elde edilir.
Ardışık alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerleri Riemann toplamlarının farkında birbirini sadeleştirir (teleskopik toplam) ve geriye sadece sınır değerleri kalır.
3
f(8)f(8) ve f(2)f(2) değerlerini hesaplayıp fark formülünde yerine koyun.
f(8)=−82+18(8)+20=−64+144+20=100f(8) = -8^2 + 18(8) + 20 = -64 + 144 + 20 = 100
f(2)=−22+18(2)+20=−4+36+20=52f(2) = -2^2 + 18(2) + 20 = -4 + 36 + 20 = 52
Fark: f(8)−f(2)=48f(8) - f(2) = 48
Buradan: Un−Ln=6n⋅48=288nU_n - L_n = \frac{6}{n} \cdot 48 = \frac{288}{n} bulunur.
Eşitsizliği çözebilmek için Riemann toplamların��n farkını nn cinsinden sayısal bir ifadeye dönüştürmek gerekir.
4
288n<3\frac{288}{n} < 3 eşitsizliğini çözerek en küçük nn doğal sayısını bulun.
288n<3  ⟹  288<3n  ⟹  n>96\frac{288}{n} < 3 \implies 288 < 3n \implies n > 96
nn bir doğal sayı olduğundan, bu eşitsizliği sağlayan en küçük değer n=97n = 97 olarak bulunur.
İstenen eşitsizlik koşulunu sağlayan en küçük tam sayı (doğal sayı) sınır değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru