Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için a<b<ca < b < c sıralaması verilmektedir.
log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca=316\log_a b + \log_b c + \log_c a = \frac{31}{6}
log⁡ba+log⁡cb+log⁡ac=416\log_b a + \log_c b + \log_a c = \frac{41}{6}
olduğuna göre, log⁡a(b⋅c)\log_a(b \cdot c) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 17Cevap
  4. D
    20
  5. E
    24

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 17'dir.
Logaritma taban değiştirme ve çarpım özellikleri kullanılarak log⁡ab=x\log_a b = x, log⁡bc=y\log_b c = y ve log⁡ca=z\log_c a = z değişkenleri tanımlanır. Bu değişkenlerin çarpımı 1'dir. Verilen denklem sisteminden bu değişkenlerin kökleri olduğu 6t3−31t2+41t−6=06t^3 - 31t^2 + 41t - 6 = 0 denklemi kurulur. Kökler 22, 33 ve 16\frac{1}{6} olarak bulunur. 1<a<b<c1 < a < b < c koşulu altında log⁡ca<1\log_c a < 1 olmalıdır, bu yüzden log⁡ca=16\log_c a = \frac{1}{6} ve dolayısıyla log⁡ac=6\log_a c = 6 olur. log⁡ab\log_a b ise 22 veya 33 olabilir. İstenen log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c ifadesi, log⁡ab=2\log_a b = 2 için 88 ve log⁡ab=3\log_a b = 3 için 99 değerini alır. Bu değerlerin toplamı 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yaparak logaritma taban değiştirme kuralını uygulama
log⁡ab=x\log_a b = x, log⁡bc=y\log_b c = y ve log⁡ca=z\log_c a = z olsun. Taban değiştirme kuralı gereğince x⋅y⋅z=log⁡ab⋅log⁡bc⋅log⁡ca=1x \cdot y \cdot z = \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1 olur.
Değişkenler arasındaki çarpım ilişkisini sadeleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için bu dönüşüm gereklidir.
2
Verilen denklemleri yeni değişkenler cinsinden ifade etme
x+y+z=316x + y + z = \frac{31}{6} ve 1x+1y+1z=416\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{41}{6} denklemleri elde edilir. İkinci denklemde payda eşitlendiğinde xy+yz+zxxyz=416\frac{xy+yz+zx}{xyz} = \frac{41}{6} olur. xyz=1xyz = 1 olduğundan xy+yz+zx=416xy+yz+zx = \frac{41}{6} bulunur.
Bilinmeyenlerin toplamını ve ikişerli çarpımlarının toplam��nı bulmak, kökleri bu bilinmeyenler olan üçüncü dereceden bir denklem oluşturmamızı sağlar.
3
Kökleri xx, yy ve zz olan üçüncü dereceden denklemi kurma ve çözme
t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0  ⟹  t3−316t2+416t−1=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0 \implies t^3 - \frac{31}{6}t^2 + \frac{41}{6}t - 1 = 0 denklemi elde edilir. Denklemi 6 ile çarparsak 6t3−31t2+41t−6=06t^3 - 31t^2 + 41t - 6 = 0 olur. Bu denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla (t−2)(t−3)(6t−1)=0(t-2)(t-3)(6t-1) = 0 elde edilir. Buradan kökler 22, 33 ve 16\frac{1}{6} olarak bulunur.
Bilinmeyenlerin değer kümesini bulabilmek için bu üçüncü dereceden denklemin köklerinin bulunması gerekir.
4
Sıralama koşulunu kullanarak kökleri değişkenlerle eşleştirme
1<a<b<c1 < a < b < c sıralaması verildiğinden, a<b  ⟹  log⁡ab>1a < b \implies \log_a b > 1, b<c  ⟹  log⁡bc>1b < c \implies \log_b c > 1 ve a<c  ⟹  log⁡ca<1a < c \implies \log_c a < 1 (ayrıca pozitif) olmalıdır. Bu durumda 11'den küçük olan tek kök z=log⁡ca=16z = \log_c a = \frac{1}{6} olmalıdır. Buradan log⁡ac=6\log_a c = 6 bulunur. Diğer kökler ise xx ve yy değerleridir: {x,y}={2,3}\{x, y\} = \{2, 3\}.
Soruda verilen büyüklük sıralaması, logaritma fonksiyonunun artan yapısı göz önüne alındığında hangi değişkenin hangi kök değerini alacağını kesinleştirir.
5
log⁡a(b⋅c)\log_a(b \cdot c) ifadesinin alabileceği değerleri hesaplayıp toplama
log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c yazılır. log⁡ac=6\log_a c = 6 ve log⁡ab\log_a b değeri 22 veya 33 olabilir. Birinci durumda log⁡a(b⋅c)=2+6=8\log_a(b \cdot c) = 2 + 6 = 8, ikinci durumda log⁡a(b⋅c)=3+6=9\log_a(b \cdot c) = 3 + 6 = 9 olur. Farklı değerlerin toplamı ise 8+9=178 + 9 = 17 bulunur.
Logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak ifadeyi toplam şeklinde açtıktan sonra elde edilen iki olası durumu toplarız.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru