Gerçel say��lar kümesinin, her k \in \mathbb{Z} için x \neq \pi + 2k\pi ve x \neq 3k\pi ko… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel say��lar kümesinin, her $k \in \mathbb{Z}$ için $x \neq \pi + 2k\pi$ ve $x \neq 3k\pi$ koşullarını sağlayan en geniş alt kümesinde tanımlı $f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right)$ fonksiyonunun esas periyodu $6\pi$ radyandır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Verilen ifade, tanım kümesini ve fonksiyonun esas periyodunu doğru bir şekilde belirtmektedir. Tanjant ve kotanjant terimlerinin ayrı ayrı periyotları

2\pi

3\pi

olup, bu periyotların en küçük ortak katı olan

6\pi

fonksiyonun esas periyodudur. Ayrıca asimptotlar (tanımsızlık noktaları) da doğru belirlenmiştir.

Adım Adım Çözüm

Tanım kümesini belirlemek için

f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right)

fonksiyonunu olu��turan terimlerin tanımsız olduğu noktaları bulun.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

terimi

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) noktalarında;

\cot\left(\frac{x}{3}\right)

terimi ise

\frac{x}{3} = k\pi \implies x = 3k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) noktalarında tanımsızdır.

Tanjant fonksiyonu, açının kosinüsünü sıfır yapan noktalarda; kotanjant fonksiyonu ise açının sinüsünü sıfır yapan noktalarda tanımsızdır.

Her iki terimin esas periyodunu ayrı ayrı hesaplayın.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

fonksiyonunun periyodu

T_1 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi

\cot\left(\frac{x}{3}\right)

fonksiyonunun periyodu

T_2 = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi

olarak bulunur.

a \neq 0

olmak üzere,

y = \tan(ax+b)

y = \cot(ax+b)

fonksiyonlarının esas periyodu

\frac{\pi}{|a|}

formülü ile hesaplanır.

İki fonksiyonun farkı ile tanımlanan

f(x)

fonksiyonunun esas periyodunu belirlemek için bireysel periyotların en küçük ortak katını (EKOK) alın.

T = \text{EKOK}(T_1, T_2) = \text{EKOK}(2\pi, 3\pi) = 6\pi

radyandır.

Tanımlı iki periyodik fonksiyonun toplamı veya farkı şeklinde yazılan fonksiyonların periyodu, ayrı ayrı periyotlarının en küçük ortak katıdır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanım kümeleri (düşey asimptotları) ile periyotlarının hesaplanması ve birleştirilmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru