Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir f fonksiyonunun her x gerçel sayısı için… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun her $x$ gerçel sayısı için türevi negatiftir.

Buna göre,

g(x) = f(x^2 - 8x + 12)

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, 4]

aralığı

Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı gereğince

g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12)

şeklindedir. Soruda

f

fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu belirtildiğinden

f'(x^2 - 8x + 12) < 0

olur. Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması (

g'(x) \geq 0

) gerekir. Negatif bir çarpanla çarpıldığında sonucun sıfırdan büyük veya eşit olması için diğer çarpanın sıfırdan küçük veya eşit olması (

2x - 8 \leq 0

) şarttır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

x \leq 4

elde edilir ve en geniş aralık

(-\infty, 4]

olarak bulunur.

Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.

g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12)

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.

Soruda verilen

f

fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu bilgisini kullanarak türev çarpanlarının işaretini belirleyin.

f'(x^2 - 8x + 12) < 0

Her

x

gerçel sayısı için

f'(x) < 0

olduğundan, bileşke fonksiyon türevindeki

f'

terimi daima negatiftir.

Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği koşulunu (

g'(x) \geq 0

) çözün.

(2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12) \geq 0 \implies 2x - 8 \leq 0 \implies x \leq 4

Çarpanlardan biri daima negatif (

f' < 0

) olduğundan, çarpımın sonucunun pozitif veya sıfır olması için diğer çarpan olan

(2x - 8)

ifadesinin negatif veya sıfır olması şarttır. Buradan en geniş aralık

(-\infty, 4]

olarak elde edilir.

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık analizi ve bileşke fonksiyonların türevi.

Soru