Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Birden büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = 7
log⁡c(ab)=2\log_c(ab) = 2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen iki denklem x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c dönüşümleriyle ortak bir tabana indirgendiğinde x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 bağıntıları elde edilir. İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesi xy+yx=x2+y2xy\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} olup, bu iki bağıntı yerine yazıldığında sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c değişken dönüşümlerini tanımlayınız.
Taban değiştirme kuralına göre log⁡ca=1x\log_c a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} elde edilir.
Verilen ifadeleri daha kolay işleyebilmek amacıyla tüm logaritma terimlerini cc tabanı ile ilişkilendirmek için.
2
İkinci denklemi tanımlanan değişkenler cinsinden ifade ediniz.
log⁡c(ab)=log⁡ca+log⁡cb=1x+1y=2  ⟹  x+yxy=2  ⟹  x+y=2xy\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \implies \frac{x+y}{xy} = 2 \implies x+y = 2xy bağıntısı elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğini ve taban değiştirme sonucunu uygulamak için.
3
Birinci denklemi çarpım özelliğini kullanarak düzenleyiniz ve değişkenler cinsinden yazınız.
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=log⁡ab+log⁡ac+log⁡ba+log⁡bc=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = \log_a b + \log_a c + \log_b a + \log_b c = 7 olur. log⁡ab=xy\log_a b = \frac{x}{y} ve log⁡ba=yx\log_b a = \frac{y}{x} olduğundan denklem xy+yx+x+y=7\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + x + y = 7 şekline gelir.
Denklemin terimlerini xx ve yy cinsinden ifade ederek tek bir cebirsel sistem oluşturmak için.
4
Cebirsel ifadeyi özdeşlikler yardımıyla düzenleyiniz.
x2+y2xy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2−2xyxy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2xy+(x+y)=9\frac{x^2+y^2}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2}{xy} + (x+y) = 9 elde edilir.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy özdeşliğini yerine yazarak ifadeyi x+yx+y ve xyxy cinsine dönüştürmek için.
5
xy=x+y2xy = \frac{x+y}{2} bağıntısını kullanarak x+yx+y değerini hesaplayınız.
(x+y)2x+y2+(x+y)=9  ⟹  2(x+y)+(x+y)=9  ⟹  3(x+y)=9  ⟹  x+y=3\frac{(x+y)^2}{\frac{x+y}{2}} + (x+y) = 9 \implies 2(x+y) + (x+y) = 9 \implies 3(x+y) = 9 \implies x+y = 3 bulunur. Buradan xy=32xy = \frac{3}{2} elde edilir.
xyxy terimini yok ederek denklemden doğrudan x+yx+y toplamına ulaşmak için.
6
İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesini hesaplayınız.
log⁡ab+log⁡ba=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=32−2(3/2)3/2=63/2=4\log_a b + \log_b a = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{3^2 - 2(3/2)}{3/2} = \frac{6}{3/2} = 4 bulunur.
Elde edilen x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 değerlerini nihai ifadede yerine yazmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım özelliğinin cebirsel özdeşliklerle ortak çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru