Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Aşağıdaki grafikte, f(x)=(x−1)3f(x) = (x-1)^3 fonksiyonunun eğrisi ile koordinat eksenleri ve x=3x = 3 doğrusu arasında kalan iki farkl�� sınırlı bölge boyanarak gösterilmiştir.

Buna göre, boyalı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    154\frac{15}{4}
  2. B
    92\frac{9}{2}
  3. 174\frac{17}{4}Cevap
  4. D
    694\frac{69}{4}
  5. E
    754\frac{75}{4}

Cevap

Boyalı bölgelerin alanlarının toplamı 17/4 birimkaredir.
Toplam alan, fonksiyonun x-ekseninin altında kalan [0, 1] aralığındaki kısmının integralinin negatifi ile x-ekseninin üstünde kalan [1, 3] aralığındaki kısmının integralinin toplamına eşittir. Bu iki alan sırasıyla 1/4 ve 4 birimkare olup, toplamları 17/4 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrinin xx-eksenini kestiği noktayı ve işaret durumunu belirleme
x=1x = 1 kökü bulunur. Fonksiyon [0,1][0, 1] aralığında negatif (f(x)≤0f(x) \le 0), [1,3][1, 3] aralığında ise pozitif (f(x)≥0f(x) \ge 0) değerler alır.
Alan hesabında xx-ekseninin altında kalan bölgelerin integralinin önüne eksi işareti koyulması gerektiğinden, fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulmak gerekir.
2
Bölgelerin alanlarını integral cinsinden ifade etme
Toplam Alan = S1+S2=∫01−(x−1)3 dx+∫13(x−1)3 dxS_1 + S_2 = \int_0^1 -(x-1)^3 \, dx + \int_1^3 (x-1)^3 \, dx
Eğri ile xx-ekseni arasındaki alan formülünü parçalı olarak uygulamak için.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplama
S1=14S_1 = \frac{1}{4} ve S2=4S_2 = 4 bulunur.
u=x−1  ⟹  du=dxu = x-1 \implies du = dx değişken değiştirmesi uygulanarak integral değerleri hesaplanır.
4
Bölge alanlarını toplayarak sonuca ulaşma
Toplam Alan = 14+4=174\frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}
Elde edilen alt alanların toplanmasıyla toplam boyalı alan bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak eğri altında kalan alanların hesabı ve x-ekseninin altında kalan alanlar için integral değerinin işaretine dikkat edilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru